Forum de mathématiques - Bibm@th.net

ccapucine

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Series entières et fonctions testes

Bonjour,
voici mon problème.

Soit $\varphi \in \mathcal{D}(\mathbb{R}).$

On considère la série entière
$$
\sum_{k \geq 1} \dfrac{1}{k}(\varphi(1/k)-\varphi(0))
$$

Si on écrit le développement de Taylor d'ordre 1 avec reste de Lagrange au point $\dfrac{1}{k}$ au voisinage de 0, on a:
$$
\varphi\left(\dfrac{1}{k}\right)= \varphi(0)+ \dfrac{1}{k} \varphi'(\xi_k),
$$
où $\xi_k \in \left]0,\dfrac{1}{k}\right[.$
Alors on a
$$
\sum_{k \geq 1} \dfrac{1}{k}(\varphi(1/k)-\varphi(0))= \sum_{k \geq 1} \dfrac{1}{k^2} \varphi'(\xi_k).
$$
Ma question est la suivante: Je cherche à voir s'il existe un rang $k_0$ t.q
$$
\forall k > k_0, \varphi'(\xi_k)=0.
$$
Pourquoi? Pour savoir si on peut écrire que puisque $\varphi'$ est une fonction teste, alors
$$
\sum_{k \geq 1} \dfrac{1}{k^2} \varphi(\xi_k) =\sum_{k_1}^{k_0} \dfrac{1}{k^2} \varphi(\xi_k).
$$

Voici deux réponses. Je souhaiterai avoir votre avis sur les deux réponses et si vous le voulez bien, les erreurs et incohérences de chacune des deux réponses.

Réponse 1.

Puisque $\varphi \in \mathcal{D}(\mathbb{R}),$ on a aussi $\varphi' \in \mathcal{D}(\mathbb{R}).$

Donc, $\varphi'$ a un support compact. Soit $Supp(\varphi') \subset [-R,R]$ pour un certain $R > 0.$

Cela signifie:
$$
\varphi'(x)=0, \ \forall |x| > R.
$$

Or, nous savons que $\xi_k \in \left]0,\dfrac{1}{k}\right[.$

Donc, pourque $\varphi'(\xi_k) \neq 0,$ il faut que $\xi_k \in Supp(\varphi) \subset [-R,R].$

Or, nous savons que $\xi_k \in ]0,\dfrac{1}{k}[.$ Donc, pour que $\varphi'(\xi_k) \neq 0,$ il faut:
$$
\xi_k \in ]0,1/k[ \ \mbox{Et} \ \xi_k \in [-R,R].
$$

C'est à dire,
$$\xi_k \in ]0,1:k[ \cap [-R,R]= ]0,\mbox{min}(1/k,R)[.
$$

Quand cette intersection devient-elle vide?

L'intersection $]0,1/k[ \cap [-R,R]$ est non vide si et seulement si $1/k > 0$ (ce qui est toujours vrai). 

Mais attention! Même si $1/k < \dfrac{1}{R},$ l'intersection $]0,1/k[$ n'est pas vide, donc on ne peut pas coçnclure directement.

On sait que, si $\varphi(x)=0$ sur un intervalle ouvert, alors $\varphi(x)=0$ sur ce même intervalle $I.$

On distingues deux cas:

Cas où $0 \notin Supp(\varphi).$ Dans ce cas, il existe $\delta > 0$ tel que
$$
\varphi(x)=0 \ \mbox{pour tout} \ x \in ]-\delta,\delta[.
$$

Donc aussi,
$$
\varphi'(x)= 0 \ \mbox{pour tout} \ x \in ]-\delta,\delta[.
$$

Pour $k > 1/\delta,$ on a $1/k < \delta,$ donc
$$
]0,1/k[ \subset ]0,\delta[ \subset ]-\delta,\delta[.
$$

Puisque $\xi_k \in ]0,1/k[ \subset ]-\delta,\delta[,$ on a
$$
\varphi'(x_k)=0.
$$

Conclusion pour ce cas. Il existe $k_0 =[1/\delta]+1$ tel que pour tout $k \geq k_0:$
$$
\varphi'(\xi_k)=0.
$$

Donc,
$$
\sum_{k \geq 1} \dfrac{1}{k^2} \varphi'(\xi_k)= \sum_{k=1}^{k_0-1} \dfrac{1}{k^2} \varphi'(\xi_k).
$$

Cas où $0 \in Supp(\varphi).$

Si 0 est dans le support de $\varphi,$ alors pour tout $\delta > 0,$ il existe $x \in ]-\delta,\delta[$ tel que $\varphi(x) \neq 0.$

Dans ce cas, on ne peut pas garantir que $\varphi'(x)=0$ sur un intervalle contenant $0.$

Cependant, la série converge quand même car
$$
|\dfrac{1}{k^2} \varphi'(\xi_k)| \leq \dfrac{1}{k^2}||\varphi'||_{\infty},
$$
et $\sum_{k=1}^{+\infty} \dfrac{1}{k^2} < \infty.$

Mais la série n'est pas nécessairement une somme finie dans ce cas.

Conclusion. Il est possible de parler de l'existence d'un $k_0$ tel que pour tout $k > k_0$ on a $\varphi(x_k)=0$ ssi $0 in Supp(\varphi).$ Dans ce cas là, on, peut écrire la série sous la forme d'une somme finie.

Dans le cas contraire, si $0 \notin Supp(\varphi),$ alors la série converge mais on ne peut pas l'écrire sous la forme d'une somme finie.

Réponse 2.
Soit $\varphi \in \mathcal{D}(\mathbb{R})$. Pour tout $k$ de $\mathbb{N}^{\star}$ on a $\xi_k \in ]0,1/k[$. On cherche une valeur $k_0$ qui vérifie $\forall k \geq k_0$ on a $\xi_k > a$ et $\xi_k < \dfrac{1}{k}.$ Donc, $a < \dfrac{1}{k}$. Donc, $$\forall k \geq k_0, k < \dfrac{1}{a}$$ ce qui est une contradiction avec le fait que $\mathbb{N}$ n'admet pas une borne $Sup.$

Dernière modification par ccapucine (09-11-2025 19:06:53)

Fred

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Re : Series entières et fonctions testes

Bonjour,

  Si $0$ est dans le support de $\varphi,$ comme tu l'as remarqué, il n'y a aucune chance que l'on puisse supposer que $\varphi'(\xi_k)=0$ à partir d'un certain rang. Pour la convergence de la série, une fois tu as divisé par $k$, une fois tu as divisé par $k^2,$ ça change tout !

F.

ccapucine

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Re : Series entières et fonctions testes

Bonjour Fred,
pardon pour les erreurs de frappes. Je viens de tout corriger. Qu'en  dites vous?
Je vous remercie d'avance.

Roro

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Re : Series entières et fonctions testes

Bonjour,

Je ne vois aucune raison qui laisserait penser que $\varphi'(\xi_k)$ serait nul pour $k$ grand !

En fait (si je comprend bien la question), tu veux montrer que pour toute fonction test $\varphi$ il existe une suite $(\xi_k)_{k\in \mathbb N^star}$ telle que pour tout $k\geq 1$ on ait $0<\xi_k<\frac{1}{k}$ et pour $k\geq k_0$ on ait $\varphi'(\xi_k)=0$ ?

Je pense que ce n'est pas bien difficile de construire un contre-exemple ! Il doit y avoir un truc que je ne comprend pas.

Les différentes réponses que tu proposes n'ont pas vraiment de sens et on croirait lire ChatGpt avec des raisonnements alambiqués et assez incompréhensibles...

Roro.

ccapucine

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Re : Series entières et fonctions testes

Bonjour.
On a $$S=\sum_{k \geq 1} \dfrac{1}{k}(\varphi(1/k)-\varphi(0)$$
En écrivant le développent de Taylor d'ordre 1 de $\varphi$ au point $1/k$ au voisinage de 0, on a
$$
S=\sum_{k \geq 1} \varphi'(\xi_k),
$$
où $\xi_k \in (0,1/k).$ On est d'accord jusque là?
Si $k$ est très grand, alors $\xi_k$ tend vers 0. C'est exact?
Ainsi, à partir d'un certain rang $k_0$ on aura $\varphi'(\xi_k)= \varphi'(0)$. Vous êtes d'accord jusque là?
Donc, si le point $0$ n'appartient pas à $Supp(\varphi')$, aura $\varphi'(0)=0$ et ainsi,
$$
S=\sum_{k=1}^{k_0} \varphi'(\xi_k).
$$
Sinon, si $0$ n'appartient pas à $Supp(\varphi')$, alors dans ce cas on ne peut pas écrire $S$ sous la forme d'une somme finie.
Ce que je dis est correct? S'il vous plaît.
Merci d'avance pour votre aide.
Est-ce que c'est correcte?

Fred

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Re : Series entières et fonctions testes

Bonjour.
On a $$S=\sum_{k \geq 1} \dfrac{1}{k}(\varphi(1/k)-\varphi(0)$$
En écrivant le développent de Taylor d'ordre 1 de $\varphi$ au point $1/k$ au voisinage de 0, on a
$$
S=\sum_{k \geq 1} \varphi'(\xi_k),
$$
où $\xi_k \in (0,1/k).$ On est d'accord jusque là?

Oui.

Si $k$ est très grand, alors $\xi_k$ tend vers 0. C'est exact?

Je ne le dirais pas comme cela. Je dirais $\lim_{k\to+\infty}\xi_k=0.$

Ainsi, à partir d'un certain rang $k_0$ on aura $\varphi'(\xi_k)= \varphi'(0)$. Vous êtes d'accord jusque là?

Pas du tout. Ce n'est pas parce que la limite est nulle que les termes sont nuls à partir d'un certain rang.

F.

ccapucine

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Re : Series entières et fonctions testes

Donc, il est impossible d'écrire $S$ sous la forme d'une somme finie? S'il vous plaît. En rappelant que $\varphi$ est une fonction test sur $\mathbb{R}$.

Dernière modification par ccapucine (22-11-2025 21:09:26)

Fred

Administrateur

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Re : Series entières et fonctions testes

Si $\varphi\in\mathcal D(\mathbb R),$ il n'y a pas de raison pour que ce soit le cas.

ccapucine

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Re : Series entières et fonctions testes

Donc $S$ ne peux jamais s'écrire sous la forme d'une somme finie?