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#1 14-01-2021 20:44:44

soupe124
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Calcul d'une limite pour montrer que f est dérivable en 0

Bonsoir, je dois montrer qu'une fct est dérivable en 0 pour cela j'ai calculer son taux d'accroissement en 0 qui est
xe^x- e^x +1/ ( e^x - 1)x, je n'arrive pas à calculer sa limite en 0 pourriez vous m'aidez svp.

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#2 14-01-2021 20:54:04

yoshi
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Re : Calcul d'une limite pour montrer que f est dérivable en 0

Re,

e^x- e^x +1/ ( e^x - 1)x

C'est :
$e^x -\dfrac{e^x +1}{x(e^x - 1)}$  ?
Non  ?  Alors, merci de mettre des parenthèses supplémentaires pour respecter la priorité des opération (ce qui n'est pas le cas actuellement).

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#3 14-01-2021 22:26:27

soupe124
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Re : Calcul d'une limite pour montrer que f est dérivable en 0

Oups desole c'est (xe^x-e^x+1)/(e^x-1)*x

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#4 15-01-2021 07:25:21

Chlore au quinoa
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Re : Calcul d'une limite pour montrer que f est dérivable en 0

Bonojur !

Essaie d'apprendre le LaTeX c'est vraiment beaucoup plus agréable à lire... De plus pour qu'une fonction soit dérivable en 0 il faudrait qu'elle soit $définie$ en 0... quelle est sa valeur en 0 ? (ou celle de son prolongement par continuité)

Adam


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J. von Neumann

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#5 15-01-2021 08:16:15

Fred
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Re : Calcul d'une limite pour montrer que f est dérivable en 0

Salut,

  J'ai l'impression qu'il a donné non pas l'expression de la fonction, mais celle du taux d'accroissement en zéro, dont il faut savoir s'il admet une limite en 0 (avec des outils de lycée, vu le forum....).

F.

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#6 15-01-2021 08:17:30

soupe124
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Re : Calcul d'une limite pour montrer que f est dérivable en 0

Re, alors f0 vaut 1 par prolongement de continuité  mais je vous ai directement donner le taux d'accroissement en 0 il ne reste plus qu'à calculer la limite que je vous ai donné, le problème étant que je n'y arrive pas je pense peut être à un changement de variable.

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#7 15-01-2021 08:42:58

Chlore au quinoa
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Re : Calcul d'une limite pour montrer que f est dérivable en 0

Ah oui pardon au temps pour moi j'ai lu trop vite !

Si tu n'es qu'au lycée en effet ce n'est pas évident, même très très difficile de trouver une limite uniquement avec des bidouillages...

J'ai effectivement trouvé une limite avec des moyens de niveau supérieur (bac +...1 ? je crois ?) mais je cherche pour voir si j'y arrive sans faire intervenir de moyens hors programme pour toi. Je te tiens au courant !

Adam


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J. von Neumann

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#8 15-01-2021 09:33:28

soupe124
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Re : Calcul d'une limite pour montrer que f est dérivable en 0

Oh ne t'inquiète pas ma classe est un peu spécial qui as pour but de nous préparer au cpge ducoup on fait plein de hors programme nottament les chapitres de première année de pcsi ducoup tu peux me montrer.

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#9 15-01-2021 09:48:47

Chlore au quinoa
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Re : Calcul d'une limite pour montrer que f est dérivable en 0

Re,

Bon depuis 1h je cherche toutes les astuces calculatoire sans trouver... Je te donne la réponse avec les outils post bac, si quelqu'un trouve un moyen autre je suis curieux de le découvrir.

Tout d'abord, tu verras si tu continues les maths qu'on peut écrire $e^x \underset{x \to 0}= 1+x+\dfrac{x^2}{2}+o(x^2)$ avec $o(x^2)$ tel que $\lim\limits_{x \to 0}\dfrac{o(x^2)}{x^2} =0$

Je ne te demande pas de comprendre les calculs en dessous, c'est juste pour ton information, et pour que tu "sentes" qu'en maths, on peut approximer des fonctions compliquées comme $\exp$ ou  $\ln$ par des polynômes.

[CALCULS NIVEAU BAC +1]

$\dfrac{xe^x -e^x +1}{x(e^x -1)} \underset{x \to 0}=\dfrac{x + x^2 -1 - x - \dfrac{x^2}{2}+1 + o(x^2)}{x+x^2-x + o(x^2)}\underset{x \to 0}=\dfrac{\dfrac{x^2}{2} + o(x^2)}{x^2 + o(x^2)}\underset{x \to 0}=\dfrac{1}{2} + o(1)$.

En gros on peut approximer en 0 ton expression par $\dfrac{1}{2}$ + un truc qui tend vers 0.  Donc la limite vaut $\dfrac{1}{2}$, donc c'est bien dérivable en $0$ avec $f'(0)=\dfrac{1}{2}$.

Le calcul est très probablement incompréhensible pour toi, j'espère vraiment que quelqu'un suffisamment astucieux parviendra à trouver une méthode niveau lycée... En tout cas pour ta culture mathématique, retiens que pour une fonction n fois dérivable en un point, on peut l'approximer autour de ce point par un polynôme, c'est ce qui m'a permis de trouver ladite limite.

Désolé de ne pas avoir été d'une aide plus fructueuse,

Adam.

P.-S. : si ce n'est pas indiscret tu viens de quel lycée ? Je faisais aussi plein de hors programme en terminale pour me "préparer à la prépa".

Dernière modification par Chlore au quinoa (15-01-2021 10:37:02)


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#10 15-01-2021 10:29:18

Black Jack
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Re : Calcul d'une limite pour montrer que f est dérivable en 0

Bonjour,

Il aurait peut-être été plus judicieux de donner la fonction au lieu de son taux d'accroissement en 0 trouvé par soupe124.

La probabilité d'erreur commise en trouvant ce taux n'est certainement pas nulle ... ce qui pourrait expliquer pourquoi il est malaisé de trouver la réponse avec les armes disponibles en secondaire (à partir d'une expression dont on n'est pas sûr).

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#11 15-01-2021 12:01:04

soupe124
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Re : Calcul d'une limite pour montrer que f est dérivable en 0

Alors je suis au lycée thiers je sais pas si c'est connu, t'est allé en prepa finalement ? Et si oui dans qu'elle filliere ? Sinon black jack l'expression de ma fonction est pour tout x different de 0 fx=(x^e^x) /( e^x - 1) et pour x = 0
f0=1

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#12 15-01-2021 12:49:51

Chlore au quinoa
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Re : Calcul d'une limite pour montrer que f est dérivable en 0

(Je connais ton  lycée grâce à sa prépa, je suis effectivement allé en prépa, MPSI-MP(*))

Le taux d'accroissement est bon je viens de vérifier. Tiens-nous au courant de la méthode de ton prof.. C'est un TD ? Un DM ?


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#13 15-01-2021 16:45:45

Black Jack
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Re : Calcul d'une limite pour montrer que f est dérivable en 0

soupe124 a écrit :

Alors je suis au lycée thiers je sais pas si c'est connu, t'est allé en prepa finalement ? Et si oui dans qu'elle filliere ? Sinon black jack l'expression de ma fonction est pour tout x different de 0 fx=(x^e^x) /( e^x - 1) et pour x = 0
f0=1

Bonjour,


f(x)=(x + e^x) /( e^x - 1), je présume.

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#14 15-01-2021 18:42:35

soupe124
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Re : Calcul d'une limite pour montrer que f est dérivable en 0

Ré, chlore quinoa alors ce n'est ni un dm ni un td mais en gros notre prof nous donne une feuille avec 30 défis par mois à faire le olus possible et dans celle de janvier il y'a celle ci, d'ailleurs aurais tu quelques exercices abordable par un terminale mais toutefois compliqué sur une étude de fct défini par prolongement en continuité et on doit démontre que f est continues, dérivable en 0 et d'autres questions classique tel que primitives equa diff etc..., black jack non c'est (xfois e^x) /(e^x - 1)

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#15 16-01-2021 07:48:13

Black Jack
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Re : Calcul d'une limite pour montrer que f est dérivable en 0

soupe124 a écrit :

Ré, chlore quinoa alors ce n'est ni un dm ni un td mais en gros notre prof nous donne une feuille avec 30 défis par mois à faire le olus possible et dans celle de janvier il y'a celle ci, d'ailleurs aurais tu quelques exercices abordable par un terminale mais toutefois compliqué sur une étude de fct défini par prolongement en continuité et on doit démontre que f est continues, dérivable en 0 et d'autres questions classique tel que primitives equa diff etc..., black jack non c'est (xfois e^x) /(e^x - 1)

f(x)=(x * e^x) /( e^x - 1)

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#16 16-01-2021 09:29:34

yoshi
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Re : Calcul d'une limite pour montrer que f est dérivable en 0

Re,

$f(x)=\dfrac{xe^x}{e^x-1}$

Code Latex

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#17 22-01-2021 10:54:43

yoshi
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Re : Calcul d'une limite pour montrer que f est dérivable en 0

Bonjour

@soupe124
Tu avais émis le souhait d'avoir des exercices sue les exponentielles.
Je me suis souvenu que j'avais 185 sujets de Bac (qui ne datent pas d'aujourd'hui), je suis en train d'explorer le tout.
En voilà déjà deux.

Série C – Poitiers - juin 1970

Dans tout le problème, on supposera le plan (P) rapporté à un repère $(O\,;\,\vec i \,;\, \vec j)$ orthonormé.
Soit la transformation ponctuelle $T(a,\lambda)$ qui, à tout point m(x, y) du plan, fait correspondre le point $\begin{cases}X &= x + a \\ Y &= \lambda Y\end{cases}$
où $a$ et $\lambda$ sont des réels donnés avec $\lambda \neq  0$.
On désigne par T l’ensemble des transformations $T(a,\lambda)$

Partie A
1◦ Quelle est, dans le plan P, la transformation $U_a=T(a,1)$ ?
     Montrer que l’ensemble U de ces transformations est un groupe commutatif pour la loi ◦.
2◦ Quelle est, dans le plan P, la transformation $V_\lambda=T(0,\lambda)$.
     Montrer que l’ensemble V de ces transformations est un groupe commutatif pour la loi $\circ$.
3◦ Montrer que la transformation composée $T(a',\lambda ') \circ T(a,\lambda)$, appartient à T .
4◦ Montrer que $T(a,\lambda)$ peut être considérée comme la composée d’une transformation de U et d’une transformation de V .

Partie B
Soit $f$ la fonction numérique de la variable réelle $x$ telle que

$f (x) = xe^x$

1. Calculer les dérivées première et seconde de $f$ et en déduire, par récurrence, la dérivée d’ordre $n$.
2. Étudier les variations de la fonction $f_n$ telle que  $f_n(x) = (x + n)e^x$ où n est un entier relatif donné.
   Tracer les courbes représentatives $\mathcal{C}_{-1}$, $\mathcal{C}_0$ et $\mathcal{C}_1$ des fonctions $f_{-1}$, $f_0$ et $f_1$.
3. Calculer $I_0(h) =\int_0^h f_0(x) \mathrm d x$ et $I_n(h) = \int_{-n}^{-n+h} f_n(x)=\mathrm d x$  en fonction de h et établir la relation :

$I_n(h)=e^{-n}I_0(h)$   (R)

  Partie C.
Déterminer $a$ et $\lambda$ pour que le minimum de $\mathcal C_0$ ait pour transformé par $T(a,\lambda)$ le minimum de $\mathcal C_n$ et montrer que $\mathcal C_0$ est transformé en $\mathcal C_n$

Quelle relation existe-t-il entre l’aire du domaine du plan défini par les relations
$\alpha\leqslant  x \leqslant β$  et $0 \leqslant y \leqslant g(x)$, où g est une fonction continue, positive donnée, et l’aire du transformé de ce domaine par $T(a,\lambda)$
Retrouver ainsi la relation R.

Orléans-Tours.  Série C -  juin 1973

Soit f la fonction numérique définie sur R par :
$\begin{cases}f(x) &= e{-\frac{1}{x^2}},\quad \text{ si }x\neq 0\\f(0)&=0\end{cases}$
1. Montrer que $f$ est continue sur $\mathbb R$.
2. Montrer que  $f$ est dérivable en tout point $x$ non nul. Calculer $f′(x)$.
3. À l’aide de la définition, montrer que f set dérivable au point x = 0.
4. Étudier les variations de f et tracer sa courbe représentative dans un repère orthonormé.
    N.B. : Pour la construction de la courbe, on utilisera le tableau de valeurs approchées suivantes :

   $ x \quad \quad \;|\;\,\dfrac 1 4 \quad |\; \dfrac 4 9 \quad |\; 1 \quad |\; \dfrac 3 2 \quad |\; 4 \quad |$
   $---|--\;|--\;|--|--|--  |$
   $f(x) \;\;\;|\quad\quad\;|\quad\quad\;|\quad\quad|\quad\quad|\quad\quad|$

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