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#1 24-12-2016 18:15:58

tina
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Dérivée dans D'

Bonjour,
soit la fonction $f$ définie sur $]0,\pi[$ par $f(x)= |\cos(x)|$.
La question est de calculer la dérivée de $f$ au sens des distributions.
Voici la solution que je propose. Puisque $f \in L^1_{loc}(]0,\pi[)$, alors elle définit une distribution par la relation
$$
\forall \varphi \in \mathcal{D}(]0,\pi[): \langle f,\varphi \rangle = \displaystyle\int_0^{\pi} |\cos(x) dx.
$$
On a:
$$
\langle f',\varphi \rangle = -\langle f,\varphi \rangle = - \displaystyle\int_0^{\dfrac{\pi}{2}} \cos(x) \varphi'(x) dx - \displaystyle\int_{\dfrac{\pi}{2}}^{\pi} \cos(x) \varphi'(x) dx
$$
et par intégration par parties, on obtient que
$$
<f',\varphi> = - \displaystyle\int_0^{\pi} |\cos(x) \varphi(x) dx.
$$
Ainsi, on conclut que $f'(x)= - |\cos(x)|$ dans $\mathcal{D}'(]0,\pi[)$.

C'est bon?
Merci pour votre aide.

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#2 24-12-2016 18:57:56

Yassine
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Re : Dérivée dans D'

L'intégration par partie est incorrecte


L'ennui dans ce monde c'est que les idiots sont sûrs d'eux et les gens sensés pleins de doutes. B. Russel

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#3 25-12-2016 10:33:46

Yassine
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Re : Dérivée dans D'

Il y a plusieurs erreurs dans ce que tu écris :
- découpage de l'intégrale : sur $[\pi/2,\pi)$, le cosinus est négatif, il faut donc changer de signe avant d'enlever la valeur absolue
- IPP : $\int_a^b f'g =  [fg]_a^b - \int_a^b fg'$ : la dérivé "passe" d'une fonction à l'autre, il faut donc que tu fasses intervenir la dérivée du cosinus
- IPP : à cause du changement de signe dont j'ai parlé, le terme $[fg]_a^b$ ne se simplifie pas entre les deux morceaux


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#4 25-12-2016 10:38:05

tina
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Re : Dérivée dans D'

Oui c'est vrai. Je reprend. On obtient que
$$
\langle f',\varphi \rangle = -\displaystyle\int_0^{\pi/2} \cos(x) \varphi(x) dx + \displaystyle\int_{\pi/2}^{\pi} \cos(x) \varphi(x) dx - 2 \varphi(\pi/2)
= - \displaystyle\int_0^{\pi} |\cos(x)| \varphi(x) dx - 2 \langle \delta_{\pi/2},\varphi \rangle.
$$
On conclut que  $f'(x)= -(|cos(x)| + 2 \delta_{\pi/2})$ dans $\mathcal{D}'(\mathbb{R})$.
C'est ok? S'il vous plaît.

Dernière modification par tina (25-12-2016 10:38:56)

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#5 25-12-2016 10:44:59

Yassine
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Re : Dérivée dans D'

Non !
Je t'ai dit qu'il manque la dérivée du cosinus dans ton IPP


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#6 25-12-2016 10:53:26

tina
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Re : Dérivée dans D'

Mais on pose
$u(x)= \cos(x)$ donc $u'(x)= -\sin(x)$ et $v'(x)= \varphi'(x)$ donc $v(x)= \varphi(x)$
ainsi
$$
\displaystyle\int_0^{\pi/2} \cos(x) \varphi'(x) ds = \displaystyle\int_0^{\pi/2} \cos(x) \varphi(x)dx + [\sin(x) \varphi(x)]_0^{\pi/2}
= \displaystyle\int_0^{\pi/2} \cos(x) \varphi(x)dx + \varphi(\pi/2).
$$
je ne vois pas où est l'erreur

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#7 25-12-2016 17:03:33

Yassine
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Re : Dérivée dans D'

Relis bien la formule que j'ai donnée plus haut de l'IPP (avec $f$ et $g$ au lieu de $u$ et $v$). tu pourrais même essayer de la retrouver, c'est un bon exercice.
Tu ne l'as pas appliquée correctement


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#8 25-12-2016 19:44:19

tina
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Re : Dérivée dans D'

Je suis bête. J'ai fais une grosse erreur dans l'ipp. Alors voilà:
$$
\displaystyle\int_0^{\pi} |\cos(x)| \varphi'(x) dx = \displaystyle\int_0^{\pi/2} \cos(x) \varphi'(x) dx - \displaystyle\int_{\pi/2}^{\pi} \cos(x) \varphi'(x) dx.
$$
Par l'ipp, on a
$$
\displaystyle\int_0^{\pi/2} \cos(x) \varphi'(x) dx = -\varphi'(0) + \displaystyle\int_0^{\pi/2} \sin(x) \varphi(x) dx,
$$
et
$$
\displaystyle\int_{\pi/2}^{\pi} \cos(x) \varphi'(x) dx = -\varphi(\pi) + \displaystyle\int_{\pi/2}^{\pi} \sin(x) \varphi(x) dx.
$$
Donc
$$
\displaystyle\int_0^{\pi} \cos(x) \varphi'(x) dx = - \varphi(0) + \varphi(\pi) + \displaystyle\int_0^{\pi/2} \sin(x)\varphi(x) dx - \displaystyle\int_{\pi/2}^{\pi} \sin(x) \varphi(x) dx.
$$
Ainsi,
$$
\langle f',\varphi \rangle = \varphi(0) - \varphi(\pi) - \displaystyle\int_0^{\pi/2} \sin(x) \varphi(x) dx + \displaystyle\int_{\pi/2}^{\pi} \sin(x) \varphi(x) dx.
$$
On peut la simplifier encore plus? S'il vous plaît.

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#9 26-12-2016 10:54:08

Yassine
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Re : Dérivée dans D'

Tu y es presque !
Il ne faut pas oublier que tu es dans $\mathcal{D}'(]0,\pi[)$, dans $\varphi(0)$ et $\varphi(\pi)$ ne sont pas vraiment définis. En réalité, les bornes d'intégration vont être $\int_{-R}^R$ avec $[-R,R]\subset ]0,\pi[$ et $\varphi(R)=\varphi(-R)=0$.
Il ne te restera alors que l'intégrale (pas de termes $\delta_0$ ou $\delta_\pi$).
Tu pourras la simplifier (en écriture) en introduisant la fonction $\rm{sgn}(x)$ qui vaut $1$ si $x > 0$, $-1$ si $x < 0$ et $0$ si $x=0$.

Une autre approche, plus "distribution like", est de constater que $|\cos(x)|=\rm{sgn}(\dfrac{\pi}{2}-x)\cos(x)$, de calculer la dérivé de $\rm{sgn}(x)$ via la formule des sauts : $\rm{sgn}'(x) = 2\delta_0$, de dériver avec la formule de Leibniz le produit $\rm{sgn}(\dfrac{\pi}{2}-x)\cos(x)$ et de constater que, comme $\cos(\dfrac{\pi}{2})=0$, alors $\cos(x)\delta_{\frac{\pi}{2}}=0$


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#10 26-12-2016 12:32:13

tina
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Re : Dérivée dans D'

Pourquoi on intégre sur $[-R,R]$ et pas sur $]0,\pi[$? S'il vous plaît. On peut dire directement que $\varphi(0)= \varphi(\pi)=0$. Non?

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#11 26-12-2016 13:44:28

Yassine
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Re : Dérivée dans D'

Les fonctions de $\mathcal{D}(]0,\pi[)$ sont définies sur $]0,\pi[$, donc $0$ et $\pi$ sont exclus.

Dernière modification par Yassine (26-12-2016 13:51:57)


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#12 26-12-2016 15:04:55

tina
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Re : Dérivée dans D'

Mais le support des fonctions tests définie sur $]0,\pi[$, c'est quoi? Ce n'est pas $[0,\pi]$? S'il vous plaît.

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#13 26-12-2016 15:41:06

Yassine
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Re : Dérivée dans D'

Relis la définition de $\mathcal{D}(\Omega)$ : le support est un compact inclut dans $\Omega$.
Ici, $\Omega =]0,\pi[$. et $[0,\pi] \nsubseteq \ ]0,\pi[$


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#14 26-12-2016 16:16:08

tina
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Re : Dérivée dans D'

D'accord, mais $[-R,R]$ n'est pas inclus dans $]0,\pi[$ car ce dernier ne contient que des éléments strictements positifs. Donc on fait comment? S'il vous plaît.

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#15 26-12-2016 16:30:30

Yassine
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Re : Dérivée dans D'

Oui, tu as raison, je n'ai pas fait attention.
Ce qu'on veut, c'est un intervalle fermé qui contienne le support (le support est compact, donc borné, donc inclut dans un intervalle fermé).
Avec $\Omega=\mathbb{R}$, on choisit des intervalles du type $[-R,R]$, symétriques par commodité (ce n'est absolument pas nécessaire). ça permet de dire $\exists R > 0$ tel que blabla
Ici, on a le choix entre :
$\exists\ 0<a<b<\pi$ tels que $Supp(\varphi) \subset [a,b]$. On aura alors $\varphi(a)=\varphi(b)=0$
Ou, si on veut un intervalle symétrique autour de $\dfrac{\pi}{2}$ :
$\exists a>0$ tel que $Supp(\varphi) \subset [a,\pi-a]$. On aura alors $\varphi(a)=\varphi(\pi-a)=0$


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#16 26-12-2016 19:40:12

tina
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Re : Dérivée dans D'

D'accord, c'est compris maintenant.
Si on considère la fonction $g$ définie de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$, $2 \pi$ périodique telle que $\forall x \in [0, 2\pi[, g(x)=x$.
La question est de calculer $g'$ au sens des distribution, et mon problème est que je ne vois pas comment utiliser la periodicité de $g$ pour avoir l'expression de $g$ sur tout $\mathbb{R}$ et pouvoir calculer sa dérivée.
Merci pour votre aide.

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#17 26-12-2016 22:32:32

Yassine
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Re : Dérivée dans D'

Il faut découper le support de $\varphi$ sous la forme $\displaystyle \cup[2k\pi, 2(k+1)\pi]$, ce qui te permettra de découper l'intégrale en morceaux où tu connais l'expression de $g$.


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#18 27-12-2016 09:32:42

tina
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Re : Dérivée dans D'

Donc on écrit que soit $\varphi \in \mathcal{D}(\mathbb{R})$ telle que $Supp \varphi = \cup_{k \in \mathbb{Z}} ]2k \pi, 2(k+1) \pi[$?
mais après comment on fait? Montrez moi s'il vous plaît comment on commence le raisonnement, je suis vraiment perdue sur cet exercice.

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#19 27-12-2016 10:01:43

Yassine
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Re : Dérivée dans D'

Attention à ce que tu écris.
D'abord, $\varphi$ est quelconque, on ne pas imposer une condition sur sont support (autre que support compact). Donc quand tu dis : $\varphi$ telle que $Supp(\varphi)= \cup_{k \in \mathbb{Z}} ]2k \pi, 2(k+1) \pi[$, tu commets plusieurs erreurs :
- Tu imposes une condition au support (égal à une réunion d'ouverts)
- Une réunion d'ouverts et un ouvert, le support étant compact, cette condition est toujours fausse
- Vu la plage de $k$, la réunion que tu écris est $\mathbb{R} \setminus \{2k\pi\ |\  k \in \mathbb{Z}\}$, c'est à dire $\mathbb{R}$ presque entier.

Il faut que tu fasses un dessin pour bien voir les choses. Le truc est que comme $\varphi$ est nulle en dehors de son support, peu importe si on "déborde" à droite ou à gauche du support, du moment que ça reste borné.
Comme le support est compact, tu peux toujours trouver deux réels $R_1$ et $R_2$ qui l'"encadrent", c'est à dire, tels que $Supp(\varphi) \subset [R_1,R_2]$. Ensuite, il faut que tu partitionnes $[R_1,R_2]$  avec des intervalles de la forme $[2k\pi, 2(k+1)\pi]$. Donc, il existe $k_1$ tel que $2k_1\pi \le R_1$ (prendre $k_1=\lfloor \dfrac{R_1}{2\pi}\rfloor$) et $k_2$ tel que $R_2 \le 2(k_2+1)\pi$ ((prendre $k_2=\lfloor \dfrac{R_2}{2\pi}\rfloor$).

On a donc $\displaystyle Supp(\varphi) \subset [R_1,R_2] \subset \cup_{k=k_1}^{k2}[2k \pi, 2(k+1) \pi]$

Pour toute fonction $f \in L^1_{loc}$, on a $\displaystyle \int_{\mathbb{R}} f\varphi d\mu = \sum_{k=k_1}^{k_2} \int_{2k\pi}^{2(k+1)\pi} f\varphi d\mu$


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#20 27-12-2016 12:42:02

tina
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Re : Dérivée dans D'

Merci beaucoup! C'est très clair. Alors, soit $\varphi \in \mathcal{D}(\mathbb{R})$, alors il existe $R_1$ et $R_2$ de $\mathbb{R}$, tels que $Supp \varphi \subset [R_1,R_2]$.
Puisque $g \in L^1_{loc}(\mathbb{R})$, alors il définit une distribution par la relation
$$
\varphi \in \mathcal{D}(\mathbb{R}) \to \langle g,\varphi \rangle= \displaystyle\int_{\mathbb{R}} g(x) \varphi(x) dx.
$$
Puisqu'on a l'information que $g$ est $2 \pi$ periodique, on partitionne l'intervalle $[R_1,R_2]$ avec des intervalles de la forme $[2k \pi, 2(k+1) \pi]$. Ainsi on a
$Supp \varphi \subset [R_1,R_2] \subset \cup_{k=k_1}^{k_2} [2 k \pi, 2(k+1) \pi]$.
Ainsi, on a:
$$
\langle g',\varphi\rangle= - \langle g,\varphi'\rangle = - \displaystyle\int_{\mathbb{R}} g(x) \varphi'(x) dx = - \sum_{k=k_1}^{k_2} \displaystyle\int_{2 k \pi}^{2(k+1)\pi} x \varphi'(x)dx.
$$
En utilisant l'intégration par partie, on obtient que
$$
\langle g',\varphi \rangle = - \sum_{k=k_1}^{k_2} \displaystyle\int_{2k\pi}^{2(k+1)\pi} \varphi(x) dx.
$$
Si c'est ok, ma question est à quelle distribution est égale $g'$? S'il vous plaît.

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#21 27-12-2016 15:35:40

Yassine
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Re : Dérivée dans D'

Non, ce n'est pas encore OK.
Tu as fais deux erreurs dans l'IPP :
- Tu as oublié le terme $[uv]_a^b$
- Tu n'as pas changé le signe de l'intégrale après IPP.

Pour ta dernière question, il faut que tu essaies d'y répondre. A quel résultat devrait-on s'attendre ?
Après tout, les distributions sont des fonctions généralisées. Donc, si je devais dériver la fonction périodique $f(x)=x$, quel résultat aurais-je dans le cadre classique ? Comment l'extrapoler pour les distributions ?


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#22 27-12-2016 16:30:36

tina
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Re : Dérivée dans D'

Je n'avais pas oublié le terme de l'ipp, mais on devrait avoir $\varphi(2(k+1) \pi)= \varphi(2k\pi)=0$. Non?
n a:
$$
\langle g',\varphi \rangle = -2(k+1) \pi \delta_{2(k+1)\pi} - 2k\pi \delta_{2 k \pi} + \sum_{k=k_1}^{k_2} \displaystyle\int_{2k\pi}^{2(k+1)\pi} \varphi(x) dx.
$$

alors $\displaystyle\int_{2k\pi}^{2(k+1)\pi} \varphi(x) dx$ est la distribution associée à la fonction $f(x)=1$. Ce qui me gêne, c'est la somme sur $k$ devant l'intégrale.
Merci our votre aide.

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#23 27-12-2016 16:41:23

Yassine
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Re : Dérivée dans D'

Il n'y a aucune raison que $\varphi(2(k+1) \pi)= \varphi(2k\pi)=0$. Imagine une fonction plateau qui vaut $1$ sur $[-1000000,+1000000]$, il y a plein de points $2k\pi$ où elle vaut $1$ !
De plus, tu as fais une erreur de signe sur $[uv]_a^b$ ! De plus, il y a une somme (ce n'est pas juste $k$)
Pour la somme des intégrales, il faut reconstituer une intégrale sur $\mathbb{R}$.


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#24 27-12-2016 16:57:33

tina
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Re : Dérivée dans D'

Ok. Donc on a
$$
\langle g',\varphi \rangle = \sum_{k=k_1}^{k_2} \displaystyle\int_{2 k \pi}^{2(k+1)\pi} \varphi(x) dx - \sum_{k=k_1}^{k_2} 2(k+1)\pi \delta_{2(k+1)\pi}
+ \sum_{k=k_1}^{k_2} 2 k \pi \delta_{2 k \pi}.
$$
On peut écrire que:
$$
\sum_{k=k_1}^{k_2} \displaystyle\int_{2 k \pi}^{2(k+1)\pi} \varphi(x) dx = \displaystyle\int_{\mathbb{R}} \varphi(x) dx,
$$
qui est la distribution associée à la fonction $f(x)=1$.
Mais comment justifier que la somme sur $k$ devient une intégrale sur tout $\mathbb{R}$? S'il vous plaît.

Dernière modification par tina (27-12-2016 17:05:41)

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#25 27-12-2016 18:18:09

Yassine
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Re : Dérivée dans D'

Parce que $\varphi$ est nulle en dehos de $\cup_{k=k_1}^{k_2} [2k\pi,2(k+1)\pi]$ !!!
Pourquoi ça ne t'a pas choqué dans le premier sens : $\int g\varphi' d\mu = \sum \int_{2k\pi}^{2(k+1)\pi} g\varphi' d\mu$ et que ça te choque dans ce sens ?!

Tu as également fait une erreur dans l'expression de $g$ sur un intervalle du type $[2k\pi, 2(k+1)\pi]$. Ce n'est pas $g(x)=x$.


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