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#1 31-03-2016 19:28:56

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 4 705

Cryptarithme

Bonjour,

  Voici un cryptarithme : VENT+DU+JURA=JORAN.
Je pense qu'il est assez difficile, et c'est la méthode qui m'intéresse, plus que le résultat qu'un script Python met 2secondes à trouver (même si c'est intéressant de programmer ce genre de scripts bien sûr).

F.

En ligne

#2 01-04-2016 18:16:07

jpp
Membre
Inscription : 31-12-2010
Messages : 971

Re : Cryptarithme

salut.



une réponse

VENT + DU + JURA = JORAN

VENT + JURA < 2000

alors  J = 1   ,  V = 9  &  O = 0  ;  et E + U + r  ( 0 <= r < 3)  ne génèrent pas de retenue et avec r = 0  ,

E & U  < 8  ,  avec r = 1  , E & U  < 7  , avec  r = 2 ,  E & U < 6

avec les 7 chiffres restants (2,3,4,5,6,7,8) il faut maintenant résoudre le cryptarithme   ENT + DU + URA = RAN

avec   234 <= RAN <= 876

a)  r = 0  -->  N + D + R < 10  -->  les seules chiffres autorisés dans la colonne seraient  2,3,4  , mais T + U + A génère automatiquement une retenue

donc N + D + R  génère une retenue 

si r = 1  alors  E & U  < 7

si r = 2 alors N + D + R ne peut faire qu'un maximum de 5+7+8 = 20  ou 6+7+8 = 21 , mais A de JORAN  doit être différent de 0 et 1

conclusion  r = 1  et  E & U  < 7    et  E et U ne peuvent prendre que les valeurs  2 , 3 , 4 , 5  & 6

et les couples de valeurs possibles sont les suivants : (2,3) , (2,4) , (2,5) & (3,4)   car E+U ne génère pas de retenue et R < 9  car V=9 et r = 1

R ne peut prendre que les valeurs  6 , 7 & 8 .

Maintenant , y a-t-il une retenue aux dizaine ?

a) si (E,U) = (2,3)  --> R = 6  --> (N , D , T , A) = (4 , 5 , 7 , 8)  --> une retenue de  1 aux dizaines sauf

pour T + U + A = 5 + 7 + 8 = 20 , impossible puisque O = 0

a) si (E,U) = (2,4)  --> R = 7  --> (N , D , T , A) = (3 , 5 , 6 , 8)  --> une retenue de 1  aux dizaines

a) si (E,U) = (2,5)  --> R = 8  --> (N , D , T , A) = (3 , 4 , 6 , 7)  --> une retenue aux dizaines

sauf pour U = 2  et E = 5  parce que (A,T) = (3,4)  mais T + U + A = N = 9 (valeur prise par V)

a) si (E,U) = (3,4)  --> R = 8  --> (N , D , T , A) = (2 , 5 , 6 , 7)  --> une retenue de 1 aux dizaines

donc les dizaines ne peuvent avoir qu'une retenue de 1  et N + D + R + 1 = XA

A)  (E,U) = (2,3)  -->  R = 6 -->  N + D + R + 1 = ( 14 , 15 , 17 , 18 ) possible

_ 1 ) A = 4  , il reste les valeurs 5 , 7 , 8 pour N , T , D   et N + D = 14 - 6 - 1 = 7 --> pas de solution

_ 2 ) A = 5  , il reste les valeurs 4 , 7 , 8 pour N , T , D   et N + D = 15 - 6 - 1 = 8 --> pas de solution

_ 3 ) A = 7  , il reste les valeurs 4 , 5 , 8 pour N , T , D   et N + D = 17 - 6 - 1 = 10 --> pas de solution

_ 4 ) A = 8  , il reste les valeurs 4 , 5 , 7 pour N , T , D   et N + D = 18 - 6 - 1 = 11 -->   (N, D) = (4,7) possible  et T = 5

dans ce cas si N = 4 , D = 7 --> T + U + A = 14   = 5 + U + 8  --> U = 1 (valeur déjà prise )

si N = 7 , D = 4 --> T + U + A = 17   = 5 + U + 8  --> U = 4 (valeur déjà prise)


B)  (E,U) = (2,4)  -->  R = 7 -->  N + D + R + 1 = ( 13 , 15 , 16 , 18 ) possible

_ 1 ) A = 3  , il reste les valeurs 5 , 6 , 8 pour N , T , D   et N + D = 13 - 7 - 1 = 5 --> pas de solution

_ 2 ) A = 5  , il reste les valeurs 3 , 6 , 8 pour N , T , D   et N + D = 15 - 7 - 1 = 7--> pas de solution

_ 3 ) A = 6  , il reste les valeurs 3 , 5 , 8 pour N , T , D   et N + D = 16 - 7 - 1 = 8 -->  (N, D) = (3,5) possible  et T = 8

dans ce cas si N = 3 , D = 5 --> T + U + A = 13   = 8 + U + 6  = 13 -->  impossible

si N = 5 , D = 3 --> T + U + A = 15   = 8 + U + 6  = 15 -->  impossible car U = J = 1

_ 4 ) A = 8  , il reste les valeurs 3 , 5 , 6 pour N , T , D   et N + D = 18 - 7 - 1 = 10 -->   pas de solution.


C)  (E,U) = (2,5)  -->  R = 8 -->  N + D + R + 1 = ( 13 , 14 , 16 , 17 ) possible

_ 1 ) A = 3  , il reste les valeurs 4 , 6 , 7 pour N , T , D   et N + D = 13 - 8 - 1 = 4 --> pas de solution

_ 2 ) A = 4  , il reste les valeurs 3 , 6 , 7 pour N , T , D   et N + D = 14 - 8 - 1 = 5 --> pas de solution

_ 3 ) A = 6  , il reste les valeurs 3 , 4 , 7 pour N , T , D   et N + D = 16 - 8 - 1 = 7 -->  (N, D) = (3,4) possible  et T = 7

dans ce cas si N = 3 , D = 4 --> T + U + A = 13   = 7 + U + 6  = 13 -->  impossible

si N = 4 , D = 3 --> T + U + A = 14   = 7 + U + 6  = 14 -->  impossible car U = J = 1

_ 4 ) A = 7  , il reste les valeurs 3 , 4 , 6 pour N , T , D   et N + D = 17 - 8 - 1 = 8  -->   pas de solution.


D)  (E,U) = (3,4)  -->  R = 8 -->  N + D + R + 1 = ( 12 , 15 , 16 , 17 ) possible

_ 1 ) A = 2  , il reste les valeurs 5 , 6 , 7 pour N , T , D   et N + D = 12 - 8 - 1 = 3 --> pas de solution

_ 2 ) A = 5  , il reste les valeurs 2 , 6 , 7 pour N , T , D   et N + D = 15 - 8 - 1 = 6 --> pas de solution

_ 3 ) A = 6  , il reste les valeurs 2 , 5 , 7 pour N , T , D   et N + D = 16 - 8 - 1 = 7 -->  (N, D) = (2,5) possible  et T = 7

dans ce cas si N = 2 , D = 5 --> T + U + A = 12   = 7 + U + 6  = 13 -->  impossible puisque U = O = 0

si N = 5 , D = 2 --> T + U + A = 15   = 7 + U + 6  = 15 -->  impossible car U = D = 2

_ 4 ) A = 7  , il reste les valeurs 2 , 5 , 6 pour N , T , D   et N + D = 17 - 8 - 1 = 8  -->  (N, D) = (2,6) possible  et T = 5

dans ce cas si E = 3 et U = 4  --> T + U + A =  5 + 4 + 7 = 16  et N = 6  et D = 2

la valeur encore non affectée est R = 8

La colonne des dizaine donne alors : 1 + N + D + R = 1 + 6 + 2 + 8 = 17  et A = 7

Ainsi VENT + DU + JURA = JORAN  -->  9365 + 24 + 1487  = 10876

Il y a donc au moins une solution.

   

Hors ligne

#3 14-04-2016 12:32:16

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 4 705

Re : Cryptarithme

Bravo jpp (ta réponse m'avait échappé)

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