VENT + DU + JURA = JORAN
VENT + JURA < 2000
alors J = 1 , V = 9 & O = 0 ; et E + U + r ( 0 <= r < 3) ne génèrent pas de retenue et avec r = 0 ,
E & U < 8 , avec r = 1 , E & U < 7 , avec r = 2 , E & U < 6
avec les 7 chiffres restants (2,3,4,5,6,7,8) il faut maintenant résoudre le cryptarithme ENT + DU + URA = RAN
avec 234 <= RAN <= 876
a) r = 0 --> N + D + R < 10 --> les seules chiffres autorisés dans la colonne seraient 2,3,4 , mais T + U + A génère automatiquement une retenue
donc N + D + R génère une retenue
si r = 1 alors E & U < 7
si r = 2 alors N + D + R ne peut faire qu'un maximum de 5+7+8 = 20 ou 6+7+8 = 21 , mais A de JORAN doit être différent de 0 et 1
conclusion r = 1 et E & U < 7 et E et U ne peuvent prendre que les valeurs 2 , 3 , 4 , 5 & 6
et les couples de valeurs possibles sont les suivants : (2,3) , (2,4) , (2,5) & (3,4) car E+U ne génère pas de retenue et R < 9 car V=9 et r = 1
R ne peut prendre que les valeurs 6 , 7 & 8 .
Maintenant , y a-t-il une retenue aux dizaine ?
a) si (E,U) = (2,3) --> R = 6 --> (N , D , T , A) = (4 , 5 , 7 , 8) --> une retenue de 1 aux dizaines sauf
pour T + U + A = 5 + 7 + 8 = 20 , impossible puisque O = 0
a) si (E,U) = (2,4) --> R = 7 --> (N , D , T , A) = (3 , 5 , 6 , 8) --> une retenue de 1 aux dizaines
a) si (E,U) = (2,5) --> R = 8 --> (N , D , T , A) = (3 , 4 , 6 , 7) --> une retenue aux dizaines
sauf pour U = 2 et E = 5 parce que (A,T) = (3,4) mais T + U + A = N = 9 (valeur prise par V)
a) si (E,U) = (3,4) --> R = 8 --> (N , D , T , A) = (2 , 5 , 6 , 7) --> une retenue de 1 aux dizaines
donc les dizaines ne peuvent avoir qu'une retenue de 1 et N + D + R + 1 = XA
A) (E,U) = (2,3) --> R = 6 --> N + D + R + 1 = ( 14 , 15 , 17 , 18 ) possible
_ 1 ) A = 4 , il reste les valeurs 5 , 7 , 8 pour N , T , D et N + D = 14 - 6 - 1 = 7 --> pas de solution
_ 2 ) A = 5 , il reste les valeurs 4 , 7 , 8 pour N , T , D et N + D = 15 - 6 - 1 = 8 --> pas de solution
_ 3 ) A = 7 , il reste les valeurs 4 , 5 , 8 pour N , T , D et N + D = 17 - 6 - 1 = 10 --> pas de solution
_ 4 ) A = 8 , il reste les valeurs 4 , 5 , 7 pour N , T , D et N + D = 18 - 6 - 1 = 11 --> (N, D) = (4,7) possible et T = 5
dans ce cas si N = 4 , D = 7 --> T + U + A = 14 = 5 + U + 8 --> U = 1 (valeur déjà prise )
si N = 7 , D = 4 --> T + U + A = 17 = 5 + U + 8 --> U = 4 (valeur déjà prise)
B) (E,U) = (2,4) --> R = 7 --> N + D + R + 1 = ( 13 , 15 , 16 , 18 ) possible
_ 1 ) A = 3 , il reste les valeurs 5 , 6 , 8 pour N , T , D et N + D = 13 - 7 - 1 = 5 --> pas de solution
_ 2 ) A = 5 , il reste les valeurs 3 , 6 , 8 pour N , T , D et N + D = 15 - 7 - 1 = 7--> pas de solution
_ 3 ) A = 6 , il reste les valeurs 3 , 5 , 8 pour N , T , D et N + D = 16 - 7 - 1 = 8 --> (N, D) = (3,5) possible et T = 8
dans ce cas si N = 3 , D = 5 --> T + U + A = 13 = 8 + U + 6 = 13 --> impossible
si N = 5 , D = 3 --> T + U + A = 15 = 8 + U + 6 = 15 --> impossible car U = J = 1
_ 4 ) A = 8 , il reste les valeurs 3 , 5 , 6 pour N , T , D et N + D = 18 - 7 - 1 = 10 --> pas de solution.
C) (E,U) = (2,5) --> R = 8 --> N + D + R + 1 = ( 13 , 14 , 16 , 17 ) possible
_ 1 ) A = 3 , il reste les valeurs 4 , 6 , 7 pour N , T , D et N + D = 13 - 8 - 1 = 4 --> pas de solution
_ 2 ) A = 4 , il reste les valeurs 3 , 6 , 7 pour N , T , D et N + D = 14 - 8 - 1 = 5 --> pas de solution
_ 3 ) A = 6 , il reste les valeurs 3 , 4 , 7 pour N , T , D et N + D = 16 - 8 - 1 = 7 --> (N, D) = (3,4) possible et T = 7
dans ce cas si N = 3 , D = 4 --> T + U + A = 13 = 7 + U + 6 = 13 --> impossible
si N = 4 , D = 3 --> T + U + A = 14 = 7 + U + 6 = 14 --> impossible car U = J = 1
_ 4 ) A = 7 , il reste les valeurs 3 , 4 , 6 pour N , T , D et N + D = 17 - 8 - 1 = 8 --> pas de solution.
D) (E,U) = (3,4) --> R = 8 --> N + D + R + 1 = ( 12 , 15 , 16 , 17 ) possible
_ 1 ) A = 2 , il reste les valeurs 5 , 6 , 7 pour N , T , D et N + D = 12 - 8 - 1 = 3 --> pas de solution
_ 2 ) A = 5 , il reste les valeurs 2 , 6 , 7 pour N , T , D et N + D = 15 - 8 - 1 = 6 --> pas de solution
_ 3 ) A = 6 , il reste les valeurs 2 , 5 , 7 pour N , T , D et N + D = 16 - 8 - 1 = 7 --> (N, D) = (2,5) possible et T = 7
dans ce cas si N = 2 , D = 5 --> T + U + A = 12 = 7 + U + 6 = 13 --> impossible puisque U = O = 0
si N = 5 , D = 2 --> T + U + A = 15 = 7 + U + 6 = 15 --> impossible car U = D = 2
_ 4 ) A = 7 , il reste les valeurs 2 , 5 , 6 pour N , T , D et N + D = 17 - 8 - 1 = 8 --> (N, D) = (2,6) possible et T = 5
dans ce cas si E = 3 et U = 4 --> T + U + A = 5 + 4 + 7 = 16 et N = 6 et D = 2
la valeur encore non affectée est R = 8
La colonne des dizaine donne alors : 1 + N + D + R = 1 + 6 + 2 + 8 = 17 et A = 7
Ainsi VENT + DU + JURA = JORAN --> 9365 + 24 + 1487 = 10876
Il y a donc au moins une solution.