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#1 24-04-2013 20:13:35

Yassine
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Messieurs 10%, 30% et 60%

Exercice pas simple de théorie des jeux.

Vous êtes monsieur 10% et êtes embarqué dans un règlement de compte. Face à vous se trouvent messieurs 30% et 60%. Chacun de vous a un pistolet et beaucoup de balles. La visibilité est très bonne et chacun est à bonne distance de tir des deux autres.
Vous êtes malheureusement mauvais tireur et touchez mortellement votre cible 10% du temps uniquement. Messieurs 30% et 60% tuent leurs cibles 30% et 60% du temps. L'ordre des tirs est convenu d'avance : vous, monsieur 30% puis  monsieur 60% et le cycle recommence jusqu'à ce qu'il n'y ait qu'un seul survivant.

Vous tirez le premier, sur qui tirez vous ?

Si l'ordre est changé : 10%, 60% puis 30%, est-ce que ça change votre réponse ?


L'ennui dans ce monde c'est que les idiots sont sûrs d'eux et les gens sensés pleins de doutes. B. Russel

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#2 24-04-2013 20:35:10

freddy
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Re : Messieurs 10%, 30% et 60%

Salut,

petite question : à chaque fois, on tire une balle et on passe la main au suivant survivant ?


De la considération des obstacles vient l’échec, des moyens, la réussite.

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#3 24-04-2013 20:50:39

Yassine
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Re : Messieurs 10%, 30% et 60%

freddy a écrit :

Salut,

petite question : à chaque fois, on tire une balle et on passe la main au suivant survivant ?

C'est exact. Chacun tire une balle en visant où il veut et passe au survivant suivant selon l'ordre préétabli.


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#4 24-04-2013 21:15:20

yoshi
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Re : Messieurs 10%, 30% et 60%

Salut,

Je ne vais participer à cette énigme, parce qu'en cherchant pour moi, j'étais tombé sur une variante...
Et j'avais constaté que la réponse est simple à trouver si on se sert de son "fureteur" favori (non, pas dans les forums BibMath...)
Alors attends-toi à du copier/coller... :-(

@+


Arx Tarpeia Capitoli proxima...

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#5 24-04-2013 21:57:37

Yassine
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Re : Messieurs 10%, 30% et 60%

Décidément, je n'ai pas de chances avec mes énigmes !
J'avais fait une recherche Web avant sans succès, tu es meilleurs "fureteur" que moi.


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#6 25-04-2013 16:49:42

freddy
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Re : Messieurs 10%, 30% et 60%

Salut,

je ne dois pas avoir non plus la bonne tête chercheuse.

Donc je pense que 1 et 2 ont tout intérêt (a priori) à éliminer en priorité 3 (le meilleur tireur), tandis que 3 doit d'abord chercher à éliminer 2 avant de dégager 1.

Puisque 1 joue en premier, il vise 3. Soit il le touche et 2 se retourne contre 1. Si un est touché, alors 2 gagne (proba = 3 %)

Si 1  survit, se retournera contre 2. S'il le touche, alors 1 gagne (proba (0.7%). Si 2 survit, il se retourne contre 1 et s'il le touche, il gagne (proba = 18,90 %) ; sinon, on recommence ... jusqu'à que mort s'ensuive !

si 3 survit, alors c'est au tour de 2 de viser 3.

Là encore, soit 3 est éliminé et donc c'est à 1 de viser 2 et on repart comme ci dessus

... soit 3 survit et il se retourne contre 2. Quel que soit le résultat, ce sera à nouveau à 1 de tirer sur 3 et on reboucle.

Bon, ensuite, je retourne au travail (...).

Je ne sais pas encore quel critère construire pour faire des analyses alternatives et trouver la meilleure stratégie.


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#7 25-04-2013 17:20:59

amatheur
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Re : Messieurs 10%, 30% et 60%

salut
juste une petite question, es ce que les tireurs ont le droit de rater leurs cibles délibérément?
@+


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#8 25-04-2013 17:27:30

Yassine
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Re : Messieurs 10%, 30% et 60%

amatheur a écrit :

salut
juste une petite question, es ce que les tireurs ont le droit de rater leurs cibles délibérément?
@+

Oui


L'ennui dans ce monde c'est que les idiots sont sûrs d'eux et les gens sensés pleins de doutes. B. Russel

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#9 25-04-2013 23:17:42

amatheur
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Re : Messieurs 10%, 30% et 60%

Re
@Yassine: ah! alors ça change tous! je re si jamais j’aboutis à quelque chose de présentable!
@+


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#10 26-04-2013 13:52:27

freddy
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Re : Messieurs 10%, 30% et 60%

Hello,

sous toute réserve, j'ai fait quelques calculs avec un automate.

La bonne solution (celle qui maximise les chances de survies de monsieur 1 qui tire le premier) est donc de concentrer ses tirs sur le survivant le plus adroit.

Globalement, il ressort qu'avec cette stratégie, monsieur 10 %  a en moyenne 18 % de chances de survie, monsieur 30 % a en moyenne 34 % de chances de survie et donc monsieur 70 % n'a qu'en moyenne 48 % de chances de survie.

Globalement aussi , il faut en moyenne tirer 7 balles avant qu'il n'en reste  plus qu'un debout.

Après les simulations, il faut prouver formellement ces résultats.

Remarque : on ne peut pas formellement parler de truel (duel à trois),  car contrairement à ce dernier (qu'on retrouve dans le bon, la brute et le truand par exemple), ils ne tirent pas tous en même temps, mais l'un après l'autre.

Je cherche encore le problème stratégique relevant de la problématique de la théorie des jeux. Si yassine veut bien m'expliquer, je l'en remercie d'avance.

Arrosoir !


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#11 26-04-2013 15:07:13

Yassine
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Re : Messieurs 10%, 30% et 60%

Salut freddy,

C'est bien un problème relevant de la théorie des jeux car chacun des joueurs (de ce jeu maccabre) doit adapter sa stratégie en fonction de la stratégie qu'il pense optimale des autres joueurs.
Monsieur 10% doit donc, au moment de décider de son choix, se mettre dans la peau du suivant (30%) pour analyser son point de vue, qui nécesssite de se mettre dans la peau du suivant, et ainsi de suite.

Par exemple, si j'analyse la stratégie que tu proposes, monsieur 10% devrait donc tirer sur 60%. En faisant ça, il prend un risque (probab 10%) d'un avoir un duel face à 30%, sachant que c'est à ce dernier de commencer à tirer. Implicitement, tu supposes que c'est mieux que de tirer en l'air et de supposer ensuite (c'est là où on se met dans la peau des autres) que 30% et 60% auront calculé que leur meilleure stratégie est de ne pas s'occuper tout de suite de 10% qui n'est pas un danger. Cette stratégie de monsieur 10% (tirer en l'air) lui procure donc un avantage qui est d'être face à l'un des deux autres, avec le privilège de tirer en premier. Il faut donc évaluer le gain relatif de chacune de ces deux stratégies pour monsieur 10%.

Comment marche ton automate ? Tu y supposes une stratégie à priori ou c'est bourrin et ça balaie l'ensemble des possibles (à chaque tour, chacun a trois choix, l'arbre des possibilités doit rapidement exploser non ?)


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#12 26-04-2013 17:57:32

freddy
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Re : Messieurs 10%, 30% et 60%

Salut,

il y a sur le site deux ou trois problèmes qui relèvent bien de la théorie des jeux, maix pas celui-là, de mon point de vue. Yoshi, qui les avait postés, devrait pouvoir te les indiquer.

En effet, ici, la stratégie est assez facile à trouver immédiatement : éliminer tout de suite celui qui a le plus de chances de m'éliminer.

D'ailleurs, ce sera aussi celle du second tireur, de la même manière que s'il survie, le troisème tireur va chercher à éliminer le second tireur, pour la même raison.

Ce qu'un bon fureteur a trouvé est qu'il y a un vrai problème de choix si un des tireurs ne ratent jamais sa cible ET qu'ils tirent tous les trois en même temps. Et là, oui, c'est un délicat problème qui relève de la théorie des jeux !

Quant à mon programme, il est subtil, car il déroule l'arborescence que j'ai consignée dans mon premier post : 1 tire sur 3 ; s'il le touche, alors j'ai une duel entre 2 et 1, commençant par 2 ; sinon, 2 tire contre 3 ; s'il le touche, j'ai un duel entre 1 et 2 en commençant par 1 ; sinon, 3 tire conre 2 ; s'il le touche, c'est à 1 de jouer contre 3, puis 3 contre 1 ; sinon, on recommence la partie.

Et j'appliue ensuite quelques savants calculs statitstiques pour donner les résutats que je devrais trouver autrement, par le calcul formel de l'expérience aléatoire.


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#13 26-04-2013 18:18:03

Yassine
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Re : Messieurs 10%, 30% et 60%

Re,
Je ne suis pas forcément un grand connaisseur de la théorie des jeux. Je persiste néanmoins à penser que c'est un problème qui en relève (voir ici l'article de Wikipedia). Par ailleurs, la source où j'ai repris cet exercice le présente comme un exercice de la théorie des jeux.
Pour l'automate, il me parait biaisé. Tu pars à priori avec comme stratégie celle que tu as indiquée et tu mesures les probabilités sous cette condition.
Comme je l'indiquais dans mon dernier post, et sans calculs, il ne parait pas évident de départager entre tirer en l'air (tant qu'il y a trois joueurs) et viser le plus adroit. Dans le premier cas, tu augmentes tes chances d'être le premier à tirer dans un duel, sans contrôle sur la qualité du tireur, et dans l'autre, tu augmentes tes chances d'être en duel face au moins adroit en étant le deuxième à tirer.


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#14 26-04-2013 18:32:29

freddy
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Re : Messieurs 10%, 30% et 60%

Re,

non, du tout, j'ai simulé deux autres choix (tirer en l'air et tirer sur 2 qui tire sur 3 qui ... ) avant de conclure que la stratégie que je propose domine les autres DU POINT DU VUE DU PREMIER JOUEUR.

Je n'ai pas examiné toutes les possibilités et je pense que seule une approche formelle me premettra de trouver la meilleure stratégie possible.

Ensuite, il est vrai que le tireur 3 peut adapter sa stratégie en fonction de ce qu'il va comprendre de ce que 1 et 2 peuvent faire ... mais puisque 1 est le premier ireur, puis que 2 suivra, je ne sais pas trop ce que 3 peut faire de mieux que de chercher à éliminer 2 en premier ! :-))

Dernière modification par freddy (26-04-2013 18:32:43)


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#15 26-04-2013 18:45:36

Yassine
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Re : Messieurs 10%, 30% et 60%

C'est bien ce qui me fait dire que c'est un exercice relevant de la théorie des jeux.
M.30% et M.60% ont peut être intérêt à se viser l'un l'autre, car de leurs points de vue, 10% est un moindre danger, même en étant premier tireur d'un éventuel duel, que de laisser l'autre. M.10%, sachant cet état de fait, pourra adapter sa stratégie et décider de sa stratégie : garder la main en cas de duel, en prenant le risque d'être face à M.60%, ou "aider" M.30% à tuer M.60% en prenant le risque d'être deuxième tireur face à M.30%.


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#16 26-04-2013 19:45:29

amatheur
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Re : Messieurs 10%, 30% et 60%

salut
je suis d'accord avec Yassine, c'est bien un problème qui relève de la théorie des jeux, on rencontre des situations similaires en biologie des systèmes, ou des êtres vivants doivent choisir soit de coopérer ou bien de s'antagoniser pour aboutir à un certain résultat..
à mon point de vue, on peut avoir deux cas de figures
-soit deux tireurs vont coopérer afin d'éliminer un troisième. (trois situations différentes)
-soit il y aura des confrontations triangulaires ( deux situations différentes).
dans cette visions des choses, j'ai exclu d'emblée le fait qu'un des joueur puisse changer de cible après chaque tire avant que le premier coup fatale n'ait été enregistré.
je tenterai ce soir de faire les calcules pour chaque situation.
A+


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#17 26-04-2013 20:11:13

freddy
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Re : Messieurs 10%, 30% et 60%

Re,

une toute petite remarque : ce jeu est fondamentalement non coopératif, puisqu’il s'arrêtera quand il n'en restera qu'un seul, du moins c'est ce que dit son énoncé.

Pour le reste, je vous laisse seul juge puisque, comme disait Coluche, "chacun pense en avoir assez, car c'est précisément avec ce qu'il a qu'il se sert pour savoir s''il en a assez ..." :-)))


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#18 26-04-2013 21:32:14

freddy
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Re : Messieurs 10%, 30% et 60%

Aïe Aïe Aïe,

je vois en relisant l'énoncé que j'ai simulé monsieur 70 %, et pas 60 % ... Faut que je simule à nouveau :-)


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#19 26-04-2013 21:41:54

Yassine
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Re : Messieurs 10%, 30% et 60%

freddy a écrit :

Re,

une toute petite remarque : ce jeu est fondamentalement non coopératif, puisqu’il s'arrêtera quand il n'en restera qu'un seul, du moins c'est ce que dit son énoncé.

Pour le reste, je vous laisse seul juge puisque, comme disait Coluche, "chacun pense en avoir assez, car c'est précisément avec ce qu'il a qu'il se sert pour savoir s''il en a assez ..." :-)))

C'est en effet un jeu non coopératif.


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#20 26-04-2013 22:11:54

freddy
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Re : Messieurs 10%, 30% et 60%

Yassine a écrit :
freddy a écrit :

Re,

une toute petite remarque : ce jeu est fondamentalement non coopératif, puisqu’il s'arrêtera quand il n'en restera qu'un seul, du moins c'est ce que dit son énoncé.

Pour le reste, je vous laisse seul juge puisque, comme disait Coluche, "chacun pense en avoir assez, car c'est précisément avec ce qu'il a qu'il se sert pour savoir s''il en a assez ..." :-)))

C'est en effet un jeu non coopératif.

Merci mon ami de confirmer mon intuition première. Tu vois, je suis assez content, car comme je ne connais strictement rien à la théorie des jeux, je suis content de voir que je peux encore apprendre des choses.


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#21 26-04-2013 22:30:43

amatheur
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Re : Messieurs 10%, 30% et 60%

salut
je crois que les meilleures stratégies sont les suivantes:
-M. 10% orientera ses tires vers M. 60% mais sans jamais essayé de l’abattre, laissant à MM. 30% et 60% le plaisir de s'entre-tuer, ainsi il pourra avoir la main le premiers quand un de ces deux derniers descendra
l'autre.
-M. 30% ne peut pas se donner le luxe de laisser le type à 60% encore en vie, en effet celui ci est trop dangereux ,et dans un second round, il préférera avoir affaire à M. 10% .
-et M. 60% pensera exactement de la même manière que M. 30%.


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#22 27-04-2013 08:22:38

Yassine
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Re : Messieurs 10%, 30% et 60%

@amatheur : Bonne intuition, il faut maintenant des preuves !
Comme tu peux l'imaginer, la stratégie que tu indiques ne peut pas être valable pour tous les triplets de probabilité de tirer juste. Pour quelles valeurs de ce triplet la stratégie de freddy (tirer sur le plus adroit) est la meilleure ?

@freddy : je corrige un peu mon commentaire sur le côté collaboratif de ce jeu. L'énoncé en effet ne met pas en place de mécanisme explicite de collaboration. Une collaboration implicite pourrait cependant apparaître. C'est d'ailleurs ce qui se passe dans la stratégie que tu proposes, M.10% et M.30% s'unissent implicitement au début contre M.60% et s'affronteront par la suite s'ils arrivent à bout de ce dernier.


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#23 27-04-2013 08:50:28

freddy
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Re : Messieurs 10%, 30% et 60%

Salut,

ce n'est pas une collaboration implicite, c'est simplement un intérêt bien compris. Ils ont tous les 3 un seul objectif mutuellement incompatible : rester en vie, ce qui suppose que les deux autres soient éliminés.

Ton problème relève de la théorie de la décision, c'est un calcul de probabilité pour trouver ce que chacun doit faire pour améliorer sa probabilité de rester en vie, au détriment des deux autres. La répétition du jeu jusqu'à ce que mort s'en suive est assez inhabituelle en fait : il n'y a aucun suspens, 2 sur 3 disparaitront !

Va jeter un œil sur le dilemme des prisonniers, un sujet très connu en théorie des jeux. Un peu plus tard, je te montrerai la version de ton problème sous l'angle théorie des jeux.

A plus, je vais grimper !


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#24 27-04-2013 11:27:52

Yassine
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Re : Messieurs 10%, 30% et 60%

@freddy : Ce que j'appelais collaboration implicite, c'est en effet d'agir en vue d'accomplir un objectif commun (court terme). Je ne vais pas chipoter si on ne souhaite pas le qualifier de collaboration. Je connais bien le dilemme du prisonnier et j'avais lu (très peu) sur la théorie des jeux et l'équilibre de Nash. Je ne suis cependant pas expert de ce sujet.
Pour moi, ce qui fait la différence entre théorie des jeux et théorie de la décision, c'est que dans la première, les acteurs connaissent chacun une partie de l'information et savent que les autres connaissent une partie de l'information, et ainsi de suite. Chacun va donc adapter son comportement en prenant en compte le fait que les autres agents sont tout aussi rationnels et vont adapter leurs comportements selon le même schéma. Ce qui peut (ou pas) aboutir à un équilibre. Ce comportement rationnel sera lui guidé par une évaluation comparative des gains espérés (donc avec calcul de probabilités et d'espérances) et en adoptant la stratégie qui maximise le gain espéré.
Je n'ai pas compris ton point sur le suspense (il n'y a pas de suspense non plus dans le dilemme du prisonnier) ?

Bonne escalade.


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#25 29-04-2013 09:40:26

freddy
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Re : Messieurs 10%, 30% et 60%

Salut,

je ne m'étais pas trompé dans le pgm.

Je résume au 1/10 : Monsieur 10 % a 18,8 % de chance de survivre, Monsieur 30 % a 34,4 % et enfin Monsieur 70 % n'a que 46,8 % de survivre en suivant la stratégie que je préconise.

Bien entendu, si Monsieur 10 % fait semblant de tirer sur Monsieur 30 %, on a sans surprise les probabilités de survies suivantes : 8,6 % pour Monsieur 10 % ; 38,2 % pour Monsieur 30 % et 53,2 % pour Monsieur 70 % ... Devinez qui est le dindon de la farce :-)

A plus !

Dernière modification par freddy (29-04-2013 12:09:21)


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