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#1 01-10-2011 18:27:59

yoshi
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Permutation circulaire des chiffres d'un nombre

Salut,


Courte, mais loin d'être simple...
Que est le plus petit nombre entier tel que si on lui fait subir une permutation circulaire de un rang vers la gauche (*), il est multiplié par 1.5 ?
(*) Exemple :  45312 --> 53124

@+


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#2 01-10-2011 18:52:33

jpp
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Re : Permutation circulaire des chiffres d'un nombre

Bonsoir Yoshi.

     j'en ai un mais il y a sans doute plus petit.

Texte caché

  3529411764705882 x 1.5 = 5294117647058823

                                                                   à plus.

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#3 01-10-2011 19:05:04

yoshi
Modo Ferox
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Re : Permutation circulaire des chiffres d'un nombre

Bonsoir,

Arf !
Hallucinant ! T'es d'origine extraterrestre ?
Oui, c'est un des 5 plus petits, mais pas le plus petit...
Chapeau quand même !!!

@+


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#4 01-10-2011 19:30:53

jpp
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Re : Permutation circulaire des chiffres d'un nombre

re.

autrement j'ai

Texte caché

1176470588235294 x 1.5 = 1764705882352941

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#5 01-10-2011 19:36:06

yoshi
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Re : Permutation circulaire des chiffres d'un nombre

Re,


Alors là, les bras m'en tombent... T'es un vrai génie !

Oui, c'est le plus petit...

@+


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#6 01-10-2011 20:52:29

freddy
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Re : Permutation circulaire des chiffres d'un nombre

Salut,

même pas le temps de comprendre le problème que JPP dégaine les soluces.

Bon, je ne les ai pas regardées, histoire de réfléchir cette nuit !


Memento Mori ! ...

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#7 01-10-2011 23:07:36

Saphiraméthyste
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Re : Permutation circulaire des chiffres d'un nombre

Salut
je recherche là-dessus

indication

le premier naturel ( un nombre de n+1 chiffres ) étant  [tex]\  \   a_n.10^n\  \ +\  \  a_{n-1}.10^{n-1}\  \  +\  \  ...\   \   +\  \  a_0  [/tex]
et quand on le multiplie avec 1.5 on obtiens [tex]\  \   a_{n-1}.10^n\  \ +\  \  a_{n-2}.10^{n-1}\  \  +\  \  ...\   \   +\  \  a_0.10 \  \  +\  \  a_n  [/tex]

autrement dit on recherche le plus petit n tel que  [tex] 3.a_{n-i} \  =\  2.a_{n-i-1}[/tex] avec  toutes les valeurs possibles de i tel que [tex]\  \   0\   \leq   \ i \   \lt  \  n \  \  [/tex]

et en posant [tex]\  \   3.a_0\  \  =\  \  2.a_n [/tex]

indication supplementaire

il m'apparait tres clairement à present que [tex]\  \   3.a_n\   \gt \  10 [/tex]
et admettre deux possibilites
la premiere  [tex] 2.a_{n-1}\     \lt   \  10 [/tex]
la deuxieme  [tex] 2.a_{n-1}\    \geq  \  10 [/tex]

vu les reponses precedentes j'ai un blème (...je reviendrais)

Dernière modification par Saphiraméthyste (01-10-2011 23:28:11)

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#8 02-10-2011 16:55:39

Saphiraméthyste
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Re : Permutation circulaire des chiffres d'un nombre

admiratif pour les reponses precedentes
je n'efface pas mon message precedent mais j'ai dit des conneries
je vous laisse continuer je raccroche piteusement

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#9 03-10-2011 18:48:55

jpp
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Re : Permutation circulaire des chiffres d'un nombre

Bonsoir. je dois quand meme des explications sur la méthode employée. je ne joue pas aux "chiffres et les lettres".

Et pour ceux qui n'ont pas envie de chercher.

méthode

Voilà il faut penser aux nombres rationnels dont la partie décimale est un groupe cyclique.
Si je prends :

[tex]r=\frac{1}{p}=\frac{1}{7}[/tex]= 0.142857142857142857...
Alors 2r = 0.285714285714...
3r = 0.428571428571..
4r = 0.571428571428...

Et comme çà jusqu'à   [tex]\frac{p-1}{p}[/tex]

si bien qu'on peut continuer à écrire :

[tex]5\times{142857} = 714285\;,\; 6\times{142857}=857142 [/tex]

et finalement [tex]p\times{142857}=999999[/tex]

avec p = 7 dans ce cas là. 2 impératifs dans le problème posé.

a) [tex]n_1=\frac{3}{2}.n[/tex].

b) permutation circulaire de un rang vers la gauche.
     Pour p = 7 il n'y a pas de solution on ne peut utiliser que les rapports

[tex]\frac{3}{2} et \frac{6}{4}[/tex]

après on passe à p = 17 et

[tex]\frac{1}{17}=0.0588235294117647[/tex]     0588235294117647...

et là il y a les rapports

[tex]\frac{3}{2}=\frac{6}{4}=\frac{9}{6}=\frac{12}{8}=\frac{15}{10}[/tex]

utilisables et là il suffit de regarder 4 chiffres successifs comme 1176 --> [tex]1.76\approx1.5\times{1.17}[/tex]

ou encore 3529 --> [tex] 5.29\approx1.5\times{3.52}[/tex]

et c'est comme ça que j'ai trouvé .

@Yoshi j'ai vérifié encore ce matin , j'ai bien 5 doigts à chaque main. par contre il y a un truc que je ne comprend pas c'est mon texte que j'aère et quand je prévisualise, tout se retrouve compacté et donc incompréhensible. quelque chose m'échappe. à plus.

n.b

autres réponses

les 3 autres nombres doivent etre là  7.0575 = 1.5 * 4.705    ,  8.823 = 1.5 * 5.882 ,  et  3.529 = 1.5 * 3.529 ils sont tous les cinq dans la mantisse de 1/17

Dernière modification par jpp (03-10-2011 19:25:28)

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#10 03-10-2011 19:34:32

yoshi
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Re : Permutation circulaire des chiffres d'un nombre

Salut jpp

Maintenant que je suis passé, va regarder ton texte...

1. N'utiliser des accolades que si c'est absolument indispensable : j'ai remarqué que ça modifie l'espacement (d'où chevauchement)
2. J'ai demandé à Fred qu'il jette un œil sur les balises tex :
    Après une balise tex fermante, il te faut 2 espaces pour en avoir un.
    Si tu veux retourner simplement à la ligne dans ton texte définitif, insère une ligne vide...
    Autant que possible laisser des formules seules une ligne ou avec le minimum de texte.
    J'ai aussi remarqué que tu écris quelque chose, tu vas à ligne tu tapes une formule et tu visualises : tout est sur la même ligne...
    Exemple :

    Blaba bli :
[tex]\int_1 ^2 \frac 1 x\; dx[/tex]

    Mais si je rajoute une espace avant la formule, ça devient correct :
    Blaba bli :
[tex]\int_1 ^2 \frac 1 x\; dx[/tex]

Y a plein de petits dysfonctionnements dus aux balises tex : c'est assez pénible et agaçant, mais quand on le sait, on s'adapte.

Ainsi que je l'ai dit, j'ai alerté Fred hier, parce que j'ai eu moment où j'ai craqué ! Après, je me suis repris et je me suis calmé :-)

@+


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#11 03-10-2011 19:41:39

jpp
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Re : Permutation circulaire des chiffres d'un nombre

Re.
     @Yoshi.  merci bien , j'y ferai attention par la suite.

                                                                             à plus.

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#12 03-10-2011 19:51:32

yoshi
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Re : Permutation circulaire des chiffres d'un nombre

Salut,

D'autre part, tu t'enquiquines avec les balise color alors que tu devrais (certes moins joli, mais c'est la norme) utiliser la mot-clé \overline suivi de la période entre accolades, soit  :

[tex]\frac{1}{17}=0.\overline{0588235294117647}...[/tex]

au lieu de

[tex]\frac{1}{17}=0.0588235294117647[/tex] 0588235294117647...

@+


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#13 05-10-2011 19:17:42

freddy
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Re : Permutation circulaire des chiffres d'un nombre

Salut,

et chapeau bas à JPP.

j'avais sorti l'artillerie lourde (SAS) et point de réponse. J'ai dû me tromper dans le code.

Mais comme "science sans conscience n'est que ruine de l'âme", je suis bien content de ne point avoir trouvé.

Bb


Memento Mori ! ...

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#14 08-10-2011 09:23:10

yoshi
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Re : Permutation circulaire des chiffres d'un nombre

Bonjour,

Solution de l'auteur (en anglais)

Answer
1,176,470,588,235,294
x 1.5 =
1,764,705,882,352,941


Here's how you find the number:

You needed to find a repeating fraction such that the number of repeating digits is one less than the number. This would be a prime number, and seven is the lowest number with this property. With this property, every digit in the repeating fraction appears in each place exactly once (i.e., every repeated digit appears as the first digit after the decimal exactly once for n/p where p > n > 0).

Now you need to find any occurrences where the nth digit is followed by the 1.5nth digit. 'n' will obviously be even.

The repeating digits in 1/7 and their corresponding 'n' where the digits are the first digit after the decimal point are:

142857 - repeating digits
132645 - n

The ordered pairs of adjacent values of n are (1,3), (3,2), (2,6), (6,4), (4,5) and (5,1). None of these has the second number equal to one and a half times the first number.

The next prime number p with a repeating fraction for 1/p containing p-1 repeating digits is 17. The repeating digits for 1/17 are:

.0588235294117647

The easiest way to assign 'n' for each digit is to list all of the digit pairs in order:

XX - n (digit)
05 - 1 (1)
11 - 2 (11)
17 - 3 (12)
23 - 4 (5)
29 - 5 (8)
35 - 6 (6)
41 - 7 (10)
47 - 8 (15)
52 - 9 (7)
58 - 10 (2)
64 - 11 (14)
70 - 12 (16)
76 - 13 (13)
82 - 14 (4)
88 - 15 (3)
94 - 16 (9)

Checking the even-numbered values of n in the above table reveals that ALL even values of n less than 2/3 of 17 are followed by the 1.5n digit. The values of n are and their digit places are:

2,3 (11,12)
4,6 (5,6)
6,9 (6,7)
8,12 (15,16)
10,15 (2,3)

So the five smallest numbers with this property are:

1176470588235294
2352941176470588
3529411764705882
4705882352941176
5882352941176470

Notice that 2352941176470588 can be rotated TWICE, yielding 1.5 times the number each time since the 4->6->9 n digits are in order.

@+


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