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- Contributions : Récentes | Sans réponse
#1 21-03-2011 13:14:07
- Michael_flux
- Membre
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- Messages : 18
Calcul d'une integrale - Intégrale de Fresnel
Bonjour à tous.
je cherche à calculer l'integrale de 0 à + linfini de cosinus (2x²) dx.
j'ai pensé a écrire cos(2x²) sous forme exponentielle et ensuite calculer les deux integrales des fonctions exponentielles trouvées , puis prendre la partie réelle. Apparemment , il s'agit de calculer l'intégrale de Gauss, mais des méthodes que j'ai lues, je n'arrive pas à comprendre. svp aidez moi à donc calculer l'integrale de 0 à +linfini de exp (i2x²) dx.
Merci d'avance.
( Excusez moi, j'sais pas utiliser le code latex)
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#3 21-03-2011 17:32:18
- Michael_flux
- Membre
- Inscription : 31-10-2010
- Messages : 18
Re : Calcul d'une integrale - Intégrale de Fresnel
Merci Freddy. Maintenant, comment déroule -t-on cette intégrale ? aidez moi à la calculer SVP
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#4 21-03-2011 23:07:48
- Roro
- Membre expert
- Inscription : 07-10-2007
- Messages : 1 801
Re : Calcul d'une integrale - Intégrale de Fresnel
Bonsoir,
Comme ça, le calcul ne me parait pas simple... je vois deux pistes (il y a peut être une méthode plus directe mais je ne vois pas) :
1- Tu développes [tex]cos(x^2)[/tex] en série entière et tu calcules l'intégrale de chaque terme, tu justifies que tu peux intervertir intégrale et somme... et j'espère que tu ne tombes pas sur une formule trop moche...
2- Tu utilises le fait que [tex]cos(x^2)[/tex] est la partie réelle de [tex]e^{ix^2}[/tex] et tu calcules l'intégrale de [tex]e^{ix^2}[/tex] en utilisant le théorème des résidus...
Je ne l'ai pas fait mais je pense que c'est "faisable" (même si la première méthode ne dois pas te donner la solution de Freddy explicitement).
Roro.
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#5 22-03-2011 13:08:48
- Fred
- Administrateur
- Inscription : 26-09-2005
- Messages : 7 348
Re : Calcul d'une integrale - Intégrale de Fresnel
Bonjour,
Ca ne s'appelle pas une intégrale de Gauss, mais une intégrale de Fresnel.
Il n'y a pas vraiment de façons faciles de la calculer. Le plus simple est de procéder comme Roro le suggère,
mais il faut connaitre le théorème des résidus (ou formule de Cauchy ici), et intégrer sur un bon contour
(par exemple, le secteur angulaire d'angle [tex]\pi/4[/tex] et de rayon R, avec comme premier côté le segment
[0,R]). Voici une autre méthode, trouvée dans Wikipedia.
Pas vraiment facile non plus....
Fred.
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#6 22-03-2011 14:18:59
Re : Calcul d'une integrale - Intégrale de Fresnel
Bonjour,
Voir aussi la page Wikipedia anglophone : http://en.wikipedia.org/wiki/Fresnel_integral
Hadrien.
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#8 30-03-2011 12:54:20
- Michael_flux
- Membre
- Inscription : 31-10-2010
- Messages : 18
Re : Calcul d'une integrale - Intégrale de Fresnel
apparemment, j'ai oublié de mentionner que je bloquais sur le calcul de [tex]\int_0^{+\infty}\,e^{ix^2}\,dx[/tex].
le doc pdf que j'ai pu avoir à ce propos m'indique que je dois utiliser ce que Fred a dit, chose que je ne comprend pas, mais que je voudrais comprendre...
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#9 30-03-2011 12:57:31
- Michael_flux
- Membre
- Inscription : 31-10-2010
- Messages : 18
Re : Calcul d'une integrale - Intégrale de Fresnel
En fait j'ai appris à calculer l'intégrale de Gauss, mais l'intégrale avec des complexes, je sais vraiment pas comment faire
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#10 03-04-2011 14:08:33
- Groupoid Kid
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- Inscription : 09-02-2011
- Messages : 155
Re : Calcul d'une integrale - Intégrale de Fresnel
Salut Michael !
Il semble qu'on t'aie un peu oublié, je vais tâcher de répondre à tes interrogations, mais ce que tu demandes recouvre un champ assez large dans les mathématiques.
Tout d'abord, parlons des intégrales "complexes". Il y a ici deux choses à prendre en compte : pour utiliser le théorème des résidus, il faut savoir :
1) intégrer une fonction à valeurs dans [tex]\mathbb{C}[/tex],
2) intégrer une fonction le long d'une courbe
qui sont deux choses bien différentes.
Tout d'abord, intégrer une fonction [tex]\mathbb{R}\to\mathbb{C}[/tex]. C'est en fait à peine plus compliqué qu'une fonction à valeurs dans [tex]\mathbb{R}[/tex]. Comment fait-on dans [tex]\mathbb{R}[/tex] ? On calcule séparément l'aire "au-dessus de l'axe des abscisses", l'aire "en-dessous", et on fait la différence des deux. On se base sur la notion d'aire, et par conséquent on est forcés de n'utiliser que des fonctions positives dans la définition de l'intégrale. Dans [tex]\mathbb{C}[/tex] on fait la même chose, mais en découpant la fonction en 4 : on découpe d'abord suivant les parties réelles et imaginaires, puis entre les parties positives et négatives de ces fonctions. On pose alors :
[tex]\int_x^y f(t)dt = \int_x^y Re(f)^+(t)dt\ - \int_x^y Re(f)^-(t)dt\ +\ i\!\!\int_x^y Im(f)^+(t)dt\ -\ i\!\!\int_x^y Im(f)^-(t)dt[/tex]
On montre alors que les théorèmes qui fonctionnaient dans [tex]\mathbb{R}[/tex] marchent encore dans [tex]\mathbb{C}[/tex], tu peux donc faire comme d'habitude.
Pour les intégrales de contour, c'est différent : on dispose d'une fonction de [tex]\mathbb{C}\to\mathbb{C}[/tex], et on souhaite l'intégrer le long d'une courbe. On met alors au point une méthode d'intégration via des paramétrisations de la courbe [tex]t\to\gamma(t)[/tex], et on montre que ça ne dépend pas de la paramétrisation :
[tex]\int_{\gamma} f(z)dz = \int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t)dt[/tex]
Avant d'utiliser le théorème des résidus, il faudra d'abord apprendre à développer des fonctions en série de Laurent, une forme super méga évoluée du développement de Taylor. Toutefois, si tu connais les fractions rationnelles et la décomposition en élément simples, certaines techniques que tu utilises pour trouver les coefficients des pôles simples peuvent t'aider à trouver les résidus...
J'avais prévenu que ce ne serait pas simple ^^ J'espère que ça pourra t'aider.
Cordialement,
GK
Dernière modification par Groupoid Kid (03-04-2011 14:11:01)
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