Forum de mathématiques - Bibm@th.net

tigre17

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Suites auxiliaires [Résolu]

j'ai un probleme pour un exercice sur les suites:
on me dit que la suite (un) est definie par u0=1
                                                             un+1= 1/2un+2

et que la suite (vn) est definie par vn=un-4

et on me demande d'exprimer vn+1 en fonction de un et vn+1 en fonction de vn

j'ai commencé par le terme general en fonction de l'indice n pour la suite un et je pensais remplacer un ds la suite vn
pourriez vous m'aider

yoshi

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Re : Suites auxiliaires [Résolu]

Salut tigre17,

Et bienvenue sur BibM@th...

j'ai commencé par le terme general en fonction de l'indice n pour la suite un et je pensais remplacer un ds la suite vn

Non, il y a plus simple, mais hélas tu as négligé de lire ça (au dessus du bandeau bleu des menus) :

Bienvenue dans les forums du site BibM@th, des forums où on dit Bonjour (Bonsoir), Merci, S'il vous plaît...

Pas de chance, essaie encore une fois...

Et par la même occasion, précise ta formule !
Dois-je lire :
[tex]U_{n+1}=\frac{1}{2U_n}+2[/tex] (1)
Ou alors ext-ce :
[tex]U_{n+1}=\frac{1}{2}U_n}+2[/tex] ? (2)

As-tu vu le bouton "Insérer une équation" (il demande d'avoir java installé sur sa machine) ? Il permet de réaliser les écritures mathématiques comme ci-dessus...
(Bon je connais ta la réponse, hein entre (1= et (2), mais c'est un prétexte à te faire prendre conscience que BibM@th te permet d'utiliser un Editeur de formules mathématiques.
Tu n'as pas Java installé ? Qu'à cela ne tienne : si tu cliques sur Code Latex tu auras une page d'aide t'expliquant comment te passer de cet Editeur d'Equations)

@+

        Yoshi
- Modérateur -

PS
Je tiens ta réponse au chaud...

freddy

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Re : Suites auxiliaires [Résolu]

Salut,

j'ajouterai : pourriez vous m'aider, s'il vous plait. Merci d'avance.

freddy
utilisateur

Dernière modification par freddy (27-10-2009 19:05:54)

yoshi

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Re : Suites auxiliaires [Résolu]

Salut tigre17,

Vexé ? Ce serait dommage... pour toi ! Bah un tigre ne se vexe pas... Plutôt occupé ailleurs !

@+

yoshi

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Re : Suites auxiliaires [Résolu]

Bonjour à tous,

Comme dit freddy, on ne laisse pas un exercice sans réponse... Imaginez la Joconde inachevée ! M'enfin ?!!
Bon, il s'est passé assez de temps pour que notre ami tigre17 ait eu le temps de passer et de penser : pourquoi je dirais bonjour, merci, s'il vous plaît ? Ce serait humiliant pour un grand garçon comme moi, c'est juste bon pour les petits...
Ah bon ?
Si c'est le cas, alors ce brave jeune homme va au devant de cruelles désillusions...

Bien je m'en vais donc travailler pour les autres.
Puisque
[tex]V_n=U_n-4\quad alors\quad U_n=V_n+4[/tex]
et, par voie de conséquence on a également
[tex]U_{n+1}=V_{n+1}+4[/tex]
Que l'on va remplacer dans la la formule :
[tex]U_{n+1}={1 \over 2}U_n+2[/tex].
D'où :
[tex]V_{n+1}+4={1\over 2}\left(V_n+4\right)+2[/tex]
D'où
[tex]V_{n+1}={1 \over 2}V_n[/tex]
Donc Vn est une suite géométrique de premier terme V0 et de raison 1/2.

Questions suivantes probables.
Puisque U0 = 1, alors V0 = U0 - 4 = 1-4 = -3
D'où l'expression de Vn en fonction de n :
[tex]V_n=-\frac{3}{2^n}[/tex]
Et celle de Un :
[tex]U_n=V_n+4 = 4-\frac{3}{2^n}[/tex]

Qu'est-ce qu'on peut encore demander ? Si la la suite Un est croissante ou décroissante ? Si elle a une limite ?
Croissance de [tex]U_n[/tex] :
[tex]U_{n+1}-U_n=4-\frac{3}{2^{n+1}} - 4 + \frac{3}{2^n}=\frac{3}{2^n}-\frac{6-3}{2^{n+1}}=\frac{6-3}{2^{n+1}}=\frac{3}{2^{n+1}}[/tex]
On a donc [tex]U_{n+1}>U_n[/tex]
La suite U_n est croissante.

Convergence de [tex]U_n[/tex]
[tex]\lim_{n \to \infty}U_n=4[/tex], en effet [tex]\lim_{n \to \infty}\frac{3}{2^n}=0[/tex]
La suite, croissante, est bornée, majorée par 4. Elle converge.

[tex]S_n=\sum_{i=0}^n U_n[/tex]
Limite de la somme Sn quand x tend vers l'infini
On pose [tex]S_{V_n}=\sum_{i=0}^n V_n[/tex]
[tex]S_{V_n}=-3\times\dfrac{1-\left({1 \over 2}\right)^{n+1}}{1-{1 \over 2}}=-3\times\dfrac{1-\left({1 \over 2}\right)^{n+1}}{\frac{1}{2}}=-6\times\left[1-\left({1 \over 2}\right)^{n+1}\right][/tex]
Or, [tex]U_n=V_n+4[/tex]
donc :
[tex]S_n=\sum_{i=0}^n U_n=V_0+4+V_1+4+\cdots+V_n+4=\sum_{i=0}^n V_n+4(n+1)[/tex]
D'où
[tex]S_n = 4(n+1)-6\times\left[1-\left({1 \over 2}\right)^{n+1}\right][/tex]
Quand n tend vers l'infini 4(n+1) tend vers l'infini, le crochet tend vers 1, donc Sn tend vers l'infini - 6, c'est à dire l'infini.

@+

Dernière modification par yoshi (11-11-2009 10:17:07)