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#1 21-07-2008 19:53:40

ABB
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Equation trigométrique

Bonsoir

je propose la question suivante:

Peut-on résoudre l'équation [tex]cosx+\sqrt{3}sinx=1[/tex] sans utiliser les formules de transformations

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#2 22-07-2008 06:54:21

yoshi
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Re : Equation trigométrique

Bonjour,

Là, je n'ai pas d'idée immédiate...

Mais je poserais une question en retour :
Peut-on faire du feu sans utiliser de moyen moderne (allumettes, briquet...) ? ;-)

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Arx Tarpeia Capitoli proxima...

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#3 22-07-2008 11:43:44

tibo
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Re : Equation trigométrique

bonjour,

d'abord qu'appelles tu formules de transformations, ABB?

Et oui yoshi, une simple lentille permet de faire du feu.


A quoi sert une hyperbole?
----- A boire de l'hypersoupe pardi !

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#4 22-07-2008 12:33:38

ABB
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Re : Equation trigométrique

Bonjour
Il s'agit des formules trigonomètriques qui figurent dans le programme de la première.

Dernière modification par ABB (22-07-2008 12:36:42)

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#5 22-07-2008 18:26:43

tibo
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Re : Equation trigométrique

heu... je suis d'accord avec yoshi là.

ce n'est pas comment faire du feu sans moyen moderne; c'est comment faire du feu sans combustible, ni comburant, ni rien de quoi produire une étincelle...

(les DL ne font pas partie du programme de première, j'ai le droit de les utilser?)

Dernière modification par tibo95640 (22-07-2008 18:28:24)


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#6 22-07-2008 19:30:17

ABB
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Re : Equation trigométrique

Bonsoir

Ma question a pour objectif de mettre en doute certaines conceptions concernant l'apprentissage de certaines notions, prises comme les seules qui traitent certain type de problèmes. Car au premier vue, on décide d'appliquer une formule de transformation trigonométrique pour élucider cet exercice, ce n'est pas le cas.

si on remarque que cette équation est équivaut à:[tex]sinx\geq 0[/tex] et [tex]3sin^2(x)=(1-cosx)^2[/tex] on peut facilement la résoudre

cette méthode est un moyen moderne qui n'est pas coûteux, niveau de la mobilisation des connaissances

il existe un autre moyen moderne qui permet de résoudre cette équation sans faire appel aux formules de transformation trigonomètriques.

Dernière modification par ABB (22-07-2008 19:31:15)

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#7 22-07-2008 20:52:44

yoshi
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Re : Equation trigométrique

Bonsoir,

ABB a écrit :

Ma question a pour objectif de mettre en doute certaines conceptions concernant l'apprentissage de certaines notions, prises comme les seules qui traitent certain type de problèmes.

D'accord, mais tout le boulot des Profs de Lycée est justement d'apprendre à leurs élèves à travailler avec une économie de moyens : il est injustifié de sous-entendre que les méthodes d'enseignement sont mauvaises. Il doit être bien clair que tous les élèves cependant n'arriveront cependant à penser ainsi : ce n'est pas la faute de l'enseignement qu'ils reçoivent.

Moi-même, je sais que j'ai l'esprit tordu, alors je me surveille : lorsque je tiens une solution, je me méfie et je me demande toujours s'il n'y a plus simple.
Je te donnerai quelques exemples demain tirés de ce forum, ce soir je sature...
Si, un exemple d'un problème ouvert de Géométrie :
          /
        /
      /                                                Construire les points A et B sur les côtés de l'angle pour que O soit le milieu
    /                x O                              de [AB] (O n'est pas sur la bissectrice)
  /
/___________________________

J'ai d'abord trouvé une solution à base de cercles, de rectangle... Puis j'ai considéré la solution d'un oeil critique et l'ai trouvé bien compliquée... Alors, j'ai cherché à économiser les moyens et j'ai alors trouvé deux autres méthodes voisines et très très simples.

Mais ça ne me réussit pas toujours ; je retrouverai la résolution d'un exercice de trigo (de ce forum) où je suis passé par les formules de transformation, ai posé un changement de variable, pour finalement aboutir à une équation de 4e degré, qui, heureusement, se résolvait sans trop de complications. Mais une horreur, quoi !
La méthode qu'il fallait employer était d'une simplicité sans commune mesure avec ce que j'avais fait...
Si, moi, je me fais piéger alors que je suis conscient de cela, qie j'ai de l'expérience (et de l'âge), il ne faut pas s'étonner que nombre de lycéens soient confrontés à ce même dilemme...

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#8 23-07-2008 07:12:40

yoshi
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Re : Equation trigométrique

Bonjour,

Je me réponds donc à moi-même.
Voilà le topic où je me suis illustré par la "force brute" et non la finesse et qui prouve que les Profs travaillent bien dans la simplicité :
http://www.bibmath.net/forums/viewtopic.php?id=1285

Par contre, voici un autre topic où l'élève te donne raison, mais se demande quand même s'il n'y a pas une autre façon de faire :
http://www.bibmath.net/forums/viewtopic.php?id=1294
ou encore :
http://www.bibmath.net/forums/viewtopic.php?id=928

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#9 23-07-2008 10:18:25

Barbichu
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Re : Equation trigométrique

ABB a écrit :

Bonsoir

Ma question a pour objectif de mettre en doute certaines conceptions concernant l'apprentissage de certaines notions, prises comme les seules qui traitent certain type de problèmes. Car au premier vue, on décide d'appliquer une formule de transformation trigonométrique pour élucider cet exercice, ce n'est pas le cas.

Salut ABB,

Puisque tu veux engager un débat sur l'apprentissage de notions, je vais donner mon point de vue personnel.

L'introduction d'outils élaborés (encore que je ne considère pas les formules trigo de base et les théorèmes de base de l'arithmétique comme élaborés, mais passons) permet avant tout de mieux entrevoir l'essence du problème et si tu considères qu'ils restreignent ta perception des choses, moi je te dis que tu te mets des oeuillères !
J'ajouterais de plus que les outils dont tu demandes qu'on se passe sont des outils essentiels pour voir les choses d'un point de vue plus abstrait, et donc pouvoir non seulement résoudre, mais aussi concevoir des problèmes plus abstraits.

Trouver une solution ad-hoc a un problème est une chose, dire que cette solution permet de comprendre les choses en est une autre. En l'occurence, combien de cas peux-tu traiter avec tes méthodes "sans outils", permettent-t'elles de mieux saisir la nature du problème et ses limitations ?

Pour conclure sur la résolution systèmatique à l'aide de méthodes élaborée, j'ajouterai que même lorsqu'on peut s'en passer, cela permet d'appliquer la méthode et donc de se l'approprier, surtout que c'est sur les cas simples où l'on voit le mieux ce qui se passe.

++


Barbichu

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#10 23-07-2008 13:28:10

ABB
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Re : Equation trigométrique

Bonjour

Historiquement, le désir de résoudre un problème était à la base de développement où élaboration d’une théorie, le bon exemple c’est le grand théorème de FERMAT.

    A travers les changements des programmes, on constate la disparition de certaines notions, cela est due essentiellement aux difficultés rencontrés par les élèves dans la résolution des problèmes ou des exercices relatives à ces notions, le bon exemple, les propriétés des nombres réels, (comme la borne supérieure,…  ).L’absence de certaines notions dans les programmes est due aussi à la difficulté rencontrée par les concepteurs de ces programmes pour élaborer des approches convenables à l’apprentissage de ces notions, comme l’introduction des nombres réels.

    Vu ces constatations, une question s’impose : quel est l’intérêt de la résolution d’un problème où l’élève n’a pas la capacité de la reproduire ?

    Pour être clair, on trouve dans la plupart des livres de la géométrie, la même démonstration du propriété du pied de la bissectrice intérieure d’un triangle (cette propriété était une partie du leçon sur THALES) le plus frappant dans cette démonstration, l’utilisation d’une considération intermédiaire (une information tirée de l’extérieure de l’énoncé de la propriété). Alors, l’élève trouvera des difficultés pour la comprendre. Pour élucider ce problème, on élimine cette propriété des programmes, ou on la propose comme un exercice pour ‘’certains élèves’’. On ne se demande jamais à chercher d’autres méthodes simples. Je dirai qu’on peut traiter cette propriété avec les notions du programme de la première année du collège.

    Un exemple frappant, c’est la résolution de l’équation x^2+y^2=z^2, dans la plupart des livres traitant cette équation, on trouve la même démarche pour sa résolution. Une démarche difficile à reproduire, car il se base sur des considérations intermédiaires. On ne se demande jamais à chercher d’autres méthodes simples. Je dirai qu’on peut traiter cette équation d’une façon simple, si on met en doute notre conception de l’arithmétique.
    Il existe un nombre important des exemples qui me pousse à réfléchir sur ‘’ce’’ mathématique enseigné.

Dernière modification par ABB (23-07-2008 16:12:21)

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#11 23-07-2008 15:57:04

ABB
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Re : Equation trigométrique

Bonjour

yoshi a écrit :

Je me réponds donc à moi-même.
Voilà le topic où je me suis illustré par la "force brute" et non la finesse et qui prouve que les Profs travaillent bien dans la simplicité :
http://www.bibmath.net/forums/viewtopic.php?id=1285

je vois que la démarche suivie est compliquée,
si on pense à la ''partie conjugée'' on peut facilement résoudre cette équation, sans utiliser aucune formule de transformation trigonométrique.

Dernière modification par ABB (23-07-2008 16:03:59)

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#12 23-07-2008 18:00:14

yoshi
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Re : Equation trigométrique

Bonsoir,


ABB a écrit :

Pour être clair, on trouve dans la plupart des livres de la géométrie, la même démonstration du propriété du pied de la bissectrice intérieure d’un triangle [...] Je dirai qu’on peut traiter cette propriété avec les notions du programme de la première année du collège.[...]

Ouh là ! Affirmation bien péremptoire... Sais-tu bien ce que contient le programme de 6e en Géométrie ? J'en doute !
La propriété en question est-elle bien celle qui permet de dire que :
ABC étant un triangle quelconque, M de [BC] le pied de la bissectrice issue de A, on a [tex]{MB \over MC}={AB \over AC}[/tex] ?
Si oui, alors, oui c'est faisable en 5e (et non en 6e) avec les propriétés de la leçon "Parallélismes et angles" (angles alterne-internes et correspondants) et la notion de triangle isocèle. Cet exercice faisait partie de ma "panoplie"...

[...]A travers les changements des programmes, on constate la disparition de certaines notions, cela est due essentiellement aux difficultés rencontrés par les élèves dans la résolution des problèmes ou des exercices relatives à ces notions[...]

D'accord sur le constat. J'avais coutume de dire que "chaque fois qu'une notion posait problème, on grattait et on reportait ultérieurement". Mais ça ne reste qu'un constat et l'explication n'est pas seulement la difficulté de concevoir des approches convenables (Avec de l'imagination, on peut et doit y arriver).
Comment expliquer que la division au CM2 ne doit être envisagée que comme euclidienne (sans prononcer le mot) alors qu'il y a 3/4 ans, le programme comprenait la notion de quotient décimal (avec Dividende et diviseur entiers) et que cela a été reporté en 6e et que la division avec diviseur décimal a été reportée elle de 6e en 5e ?
Non, moi j'avance deux autres raisons :
- Les élèves ne sont plus habitués dès l'école primaire à l'effort intellectuel (je vais me faire mal voir), alors en Collège, dès qu'il faut réfléchir plus de 3 minutes à la fois, 90 % des mômes lâchent prise et se plaignent : << J'y arrive pas ! C'est trop dur ! >>. On est rentré dans l'ère du zapping. Va parler des angles alterne-internes à des élèves de 3e : 75 % vont dire : << Ouh là ! C'est loin ! >>
Même Fred, en Fac a rencontré ce problème. A un étudiant qui pateaugeait sur un exercice, il a dit en gros : << J'espère que vous avez conscience que ça fait appel à des notions vues en 1ere S ? >> Et l'étudiant de répondre : << Oui, mais, c'est loin ! >>
- La finalité attribuée aux Mathématiques en 1ere et Terminale Scientifiques. Le but est-il de former des matheux ? Non, mais de mettre à disposition de tous un certain nombre d'outils (comme l'a dit Barbichu) et de fournir des exercices didactiques d'application. Bien entendu, le prof consciencieux aura à coeur de montrer à côté que la "force brute" n'est pas toujours la meilleure méthode à employer... Plus on élargit l'éventail des méthodes à utiliser et meilleure est la formation.

Concernant ce topic : http://www.bibmath.net/forums/viewtopic.php?id=1285, ABB a écrit :

Je vois que la démarche suivie est compliquée, si on pense à la ''partie conjuguée'' on peut facilement résoudre cette équation, sans utiliser aucune formule de transformation trigonométrique.

Sur le côté compliqué, je l'avais dit d'entrée, ajoutant que c'était une horreur... Je vais donc compléter maintenant avec une expression tirée de mes "années Lycée" : c'était même bestialement calculatoire...
Par contre quand tu parles de "partie conjuguée", je ne vois pas (et j'ai la flemme de chercher). Mais cela dit, plus court, plus simple que la solution du prof :
"x appartient à [0; pi/2] car la racine carrée d'un nombre négatifs n'existe pas

x n'appartient pas à ]0 ; pi/2 [ car RACINE(cos x) + RACINE (sin x) > 1 car RACINE(cos x) > cos ² x et RACINE(sin x) > sin ² x avec sin²x+cos²x=1

Donc il reste plus que 0 [2pi] et pi/2 [2pi]..."

Fred en avait d'ailleurs rajouté une couche en écrivant : "C'est tellement plus malin!!!
D'où l'intérêt de réfléchir avant d'agir...
"
Je ne crois pas que ta solution puisse être plus simple...

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#13 23-07-2008 20:09:23

ABB
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Re : Equation trigométrique

Bonsoir

yoshi a écrit :

Par contre quand tu parles de "partie conjuguée", je ne vois pas (et j'ai la flemme de chercher). Mais cela dit, plus court, plus simple que la solution du prof [...]Je ne crois pas que ta solution puisse être plus simple....

je propose une méthode simple pour résoudre cette équation dans IR:
soit x un nonbre réel tel que : [tex]\sqrt{cosx}+\sqrt{sinx}=1[/tex]
On a [tex]sinx\geq 0[/tex] et [tex]cosx\geq0[/tex]
On a :[tex]cosx-sinx=(\sqrt{cosx}+\sqrt{sinx})(\sqrt{cosx}-\sqrt{sinx})[/tex]
alors : [tex]cosx-sinx=\sqrt{cosx}-\sqrt{sinx}[/tex]
On a alors :[tex]cosx-sinx=\sqrt{cosx}-\sqrt{sinx}[/tex] et [tex]\sqrt{cosx}+\sqrt{sinx}=1[/tex]
Donc :[tex]2\sqrt{cosx}=1+cosx-sinx[/tex]
c'est-à-dire :[tex]4cosx=(1+cosx)^2+sin^2x-2sinx(1+cosx)[/tex]
ou encore ::[tex]cosx+sinx=1-sinxcosx[/tex]
Or : [tex]\sqrt{cosx}+\sqrt{sinx}=1[/tex] d'où : [tex]cosx+sinx+2\sqrt{sinxcosx}=1[/tex]
Donc :[tex]2\sqrt{sinxcosx}=sinxcosx[/tex]
comme [tex]sinxcosx\leq 1[/tex] alors [tex]sinxcosx=0[/tex]
ce qui implique que : [tex]cosx=0 et sinx=1[/tex] ou [tex]cosx=1 et sinx=0[/tex]
Réciproquement si [tex]cosx=0 et sinx=1[/tex] alors [tex]\sqrt{cosx}+\sqrt{sinx}=1[/tex] et si [tex]cosx=1 et sinx=0[/tex] alors [tex]\sqrt{cosx}+\sqrt{sinx}=1[/tex]
les solutions de cette équation sont les réels de la forme:[tex]2k\pi[/tex] ou [tex]\frac{\pi}{2}+2k\pi[/tex] où k est un entier relatif.


je demande cordialement à yoshi de me présenter la démonstration de la proprièté du pied de la bissectrice d'un triangle.car je connais 4 méthodes pour sa démonstration, mais aucune ne base sur les notions cités par yoshi.

Dernière modification par ABB (23-07-2008 20:23:14)

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#14 23-07-2008 20:46:56

yoshi
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Re : Equation trigométrique

Bonsoir,

Ok ! Je vois ce que tu entendais par "conjugués". Comme j'avais aussi cité une discussion sur les complexes, faisant appel aux conjugués, mon cerveau m'avait guidé dans cette direction et je ne voyais pas.
Mais tu trouves que ce que tu présentes est plus simple que la solution donnée par le prof de Cléopatre :
"x appartient à [0; pi/2] car la racine carrée d'un nombre négatifs n'existe pas

x n'appartient pas à ]0 ; pi/2 [ car RACINE(cos x) + RACINE (sin x) > 1 car RACINE(cos x) > cos ² x et RACINE(sin x) > sin ² x avec sin²x+cos²x=1

Donc il reste plus que 0 [2pi] et pi/2 [2pi]..." ?

La démonstration.
Désolé, après vérification, je dois reconnaître que ma mémoire m'a fait défaut. La démonstration dont je parle, en fait un exercice puisque cette propriété ne figure pas (plus ?) dans les manuels de 3e, fait aussi appel au théorème de Thalès et, encore, à une écriture non classique des rapports.
A partir de l'énoncé donné dans mon post, je trace la parallèle à (AM) issue de C : elle coupe (AB) en N.
Avec les propriétés des angles, on montre que CAN est isocèle de sommet principal A. donc que AC = AN et après, on remplace dans les rapports.
Mais puisque tu as cité Thalès, tu devais sûrement connaître.
Donc, je te prie d'accepter mes plus humble excuses pour mon trou de mémoire.
Cela dit, je suis moi intéressé par une démonstration niveau 6e, 5e ou 4e...

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#15 23-07-2008 21:04:49

Fred
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Re : Equation trigométrique

J'ai fait une fausse manip en croyant effacer un doublon.
La fin est un peu étrange.
Désolé.

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Auteur: ABB

Bonsoir
la méthode du prof cléopatre est plus simple que la mienne, mais elle est pas général, c'est à dire si on remplace 1 par 2 par exemple, alors sa démarche ne marche pas, mais la mienne marche toujours

il existe une méthode pour démontrer la propriété du pied de la bissectrice en se basant seulement sur la formule de ca

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#16 23-07-2008 21:10:18

ABB
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Re : Equation trigométrique

Bonsoir
la méthode du prof cléopatre est plus simple que la mienne, mais elle n'est pas généralisable, c'est- à -dire si on remplace 1 par 1.5 par exemple, alors sa démarche ne marche pas, mais la mienne marche toujours. En plus ma démarche résoudre l'équation dans IR.si on essaye d'appliquer la méthode du prof cléoparte dans la résolution cette équation dans IR, on trouve certainement des complications au niveau de la rédaction de la solution.


il existe une méthode pour démontrer la propriété du pied de la bissectrice en se basant seulement sur la formule de calcul de surface

Dernière modification par ABB (23-07-2008 21:26:10)

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#17 23-07-2008 22:02:07

ABB
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Re : Equation trigométrique

Bonsoir
Pour illustrer mon point de vue je propose l'exercice suivant
résoudre dans [tex]\mathbb{R}^2[/tex]l'équation suivante:

[tex]\Large \sqrt{x^2+a^2-\sqrt{3}ax}+\sqrt{x^2+y^2-\sqrt{3}xy}+\sqrt{y^2+b^2-\sqrt{3}by}=\sqrt{a^2+b^2}[/tex]

a et b sont des réels strictement positifs

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#18 24-07-2008 12:11:41

ABB
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Re : Equation trigométrique

Bonjour

yoshi a écrit :

La démonstration dont je parle, en fait un exercice puisque cette propriété ne figure pas (plus ?) dans les manuels de 3e, fait aussi appel au théorème de Thalès et, encore, à une écriture non classique des rapports..

L’absence de cette propriété dans les programmes est due probablement aux difficultés rencontrées par les élèves pour comprendre sa démonstration historique, attribue selon certaines versions historiques à EUCLIDE. Cette difficulté réside essentiellement dans la considération intermédiaire (je trace la parallèle à (AM) issue de C , cité par yoshi)

    Pour établir une démonstration compréhensible par les élèves, on commence par la question : que signifie D est le pied de la bissectrice intérieure de l’angle BẬC ?, la réponse doit être : D est un point du segment [BC] équidistant aux côtés (AB) et (AC) .

    Une deuxième question doit être posé dans ce contexte : que signifie D est équidistant aux côtés (AB) et (AC) ?. La réponse à cette question suggère la considération de deux points H et K, H est le projeté du point D sur la droite (AB) et K est le projeté du point D sur la droite (AC). Alors l’élève doit écrire que DH=DK.

    Pour poursuivre le dialogue, on doit poser une troisième question : que représente la distance DH par rapport au triangle ADB ? la réponse doit être la suivante : DH est une hauteur , ce dernier mot suggère de calculer la surface du triangle ABD. Si S est la surface du triangle ABD alors 2S=DH.AB.

    De la même façon, si T est la surface du triangle ADC alors 2T=DK.AC, ces deux résultats nous conduit à écrire :S/T=AB/AC

    A ce moment, on oriente le dialogue vers la recherche des éléments communs à deux triangles ABD et ABC (ce changement d’orientation est justifie par l’objectif de l’exercice, c’est démontre que : DB/DC= AB/AC) en posant la question : peut-on calculer le rapport S/T en fonction de DB et DC ? la réponse sera simple si l’élève remarque que les deux triangles ABD et ADC ont même hauteur issue de A.

    Ce scénario est un résumé de déroulement d’une séance, avait pour objectif faire participer les élèves à se dialoguer entre eux. Je ne prétends pas que ce résumé reflète exactement le déroulement de cette séance.

Dernière modification par ABB (24-07-2008 14:29:37)

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