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sigma23

Invité

pourqoui famille génératrice !

bonsoir,
https://bibmath.net/ressources/index.ph … &type=fexo
Dans l'exercice 5 question 4.
ca fait des heures que je cherche pourquoi la famille (f(e1),f(e2),f(e3),f(e4)) est génératrice , en plus de ça , avant cette question l'exercice ne donne aucune information sur la surjectivité, l'injectivité de l'application ? , est ce que vous pouvez m'aider ?

Je vous remercie d'avance.

stfj

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Re : pourqoui famille génératrice !

bonjour,
j'ai suivi le lien, j'espère que nous parlons du même exercice. [tex]Imf:=f(E)=f(Vect(e1,e2,e3,e4)))=Vect(f(e1),f(e2),f(e3),f(e4))[/tex] puisque [tex]f[/tex] est linéaire. Donc la famille [tex](f(e1),f(e2),f(e3),f(e4))[/tex] est génératrice de [tex]Imf[/tex]. Mais comme [tex]f(e3)=2f(e1)+f(e2)[/tex] (*) et que [tex]f(e4)=f(e1)+f(e2)[/tex], on a finalement [tex]Imf=vect(f(e1),f(e2))[/tex] et [tex]dim Imf=2. f[/tex] n'est pas surjective [tex](dim Imf\neq 4[/tex]) donc elle n'est pas injective non plus (puisqu'en dimension finie , la surjectivité équivaut à l'injectivité pour un endomorphisme). On peut d'ailleurs observer que [tex]f(e3-2e1-e2)=0[/tex] par exemple d'après (*).
C'est un exemple d'application linéaire où tu peux observer de nombreux résultats du cours...
J'espère que cela va t'aider.

Dernière modification par stfj (25-07-2022 00:46:56)