Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Abdoumahmoudy

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Limite de Un+1

Bonjour,
J'ai un problème concernant la limite d'une suite, si on a une suite noté par exemple Un , convergente vers un certain réel l , alors est ce qu'on peux dire que Un+1 converge vers la même limite, et si oui , pourquoi cela est possible ?
Mercii.

Roro

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Re : Limite de Un+1

Bonjour,

Connais-tu la définition de la limite d'une suite (avec des quantificateurs) ?

Si c'est le cas, tu pourras voir qu'il est équivalent de dire que la suite $(u_n)$ ou que la suite $(u_{n+1})$ admette une limite (et que c'est la même).

Roro.

bridgslam

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Re : Limite de Un+1

Bonjour,

pour tout  entier n, si n > A, que pouvez-vous en déduire pour n+1 ? Donc... on a alors une preuve directe.

Le phénomène est général: si une suite converge vers L , alors toute suite extraite de cette suite converge vers L.
On s'en sert en général dans l'autre sens: en montrant qu' une suite donnée possède une suite extraite non convergente, alors la suite n'est forcément pas convergente.
Conclusion négative aussi si on trouve des suites extraites convergentes mais de limites différentes: exemple la suite ( (-1)^n ).

Alain

Abdoumahmoudy

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Re : Limite de Un+1

Ok

Bonjour,

pour tout  entier n, si n > A, que pouvez-vous en déduire pour n+1 ? Donc... on a alors une preuve directe.

Le phénomène est général: si une suite converge vers L , alors toute suite extraite de cette suite converge vers L.
On s'en sert en général dans l'autre sens: en montrant qu' une suite donnée possède une suite extraite non convergente, alors la suite n'est forcément pas convergente.
Conclusion négative aussi si on trouve des suites extraites convergentes mais de limites différentes: exemple la suite ( (-1)^n ).

Alain

Oui j'ai compris ce que vous voulez dire , mais pourquoi on peut dire que Un+1 est une suite extraite de Un ?

Dernière modification par Abdoumahmoudy (23-03-2022 09:22:54)

Abdoumahmoudy

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Re : Limite de Un+1

Bonjour,

Connais-tu la définition de la limite d'une suite (avec des quantificateurs) ?

Si c'est le cas, tu pourras voir qu'il est équivalent de dire que la suite $(u_n)$ ou que la suite $(u_{n+1})$ admette une limite (et que c'est la même).

Roro.

Voilà, merci beaucoup Roro

bridgslam

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Re : Limite de Un+1

... , mais pourquoi on peut dire que Un+1 est une suite extraite de Un ?

J'espère que c'est une blague, deux mots à taper dans un moteur de recherche...

Sinon une autre façon de voir les choses: une suite $(u_n)$ converge vers L ssi tout voisinage de L contient une fin de suite ( ie une section finissante, du type $\{  u_n, u_{n+1} , .... \}$

Ici toute fin de suite de la suite $(u_n)$ contient une fin de suite de la suite $( u_{n+1} )$ et vice versa.

A.

Abdoumahmoudy

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Re : Limite de Un+1

... , mais pourquoi on peut dire que Un+1 est une suite extraite de Un ?

J'espère que c'est une blague, deux mots à taper dans un moteur de recherche...

Sinon une autre façon de voir les choses: une suite $(u_n)$ converge vers L ssi tout voisinage de L contient une fin de suite ( ie une section finissante, du type $\{  u_n, u_{n+1} , .... \}$

Ici toute fin de suite de la suite $(u_n)$ contient une fin de suite de la suite $( u_{n+1} )$ et vice versa.

A.

Merci beaucoup.

filipswood

Membre

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Re : Limite de Un+1

Bonjour,

pour tout  entier n, si n > A, que pouvez-vous en déduire pour n+1 ? Donc... on a alors une preuve directe.

Le phénomène est général: si une suite converge vers L , alors toute suite extraite de cette suite converge vers L.
On s'en sert en général dans l'autre sens: en montrant qu' une suite donnée possède une suite extraite non convergente, alors la suite n'est forcément pas convergente.https://omegle.site/
Conclusion négative aussi si on trouve des suites extraites convergentes mais de limites différentes: exemple la suite ( (-1)^n ).

Alain

Effectivement, je me suis mal exprimé, c'était le seul point obscur.
Ta réponse est très claire. C'est bon.
Merci beaucoup.

Dernière modification par filipswood (14-07-2022 07:13:50)