Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Junior ste

Membre

Inscription : 03-11-2021

Messages : 93

Application Théorème de Wilson

Salut.
Je voudrais montrer que si n est un entier pair tel que p=2n+1 soit premier alors p divise ((n)!)^2+1..... je

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 349

Re : Application Théorème de Wilson

Bonjour,

  Un indice. Il faudrait commencer par démontrer que
$$(n+1)(n+2)\cdots 2n \equiv 1\times 2\times n\ \mod(2n).$$

F.

Junior ste

Membre

Inscription : 03-11-2021

Messages : 93

Re : Application Théorème de Wilson

Salut.
Explique toi clairement je ne vois pas ce que tu dis....??

bridgslam

Membre Expert

Lieu : Rospez

Inscription : 22-11-2011

Messages : 1 903

Re : Application Théorème de Wilson

Bonsoir,

Si vous montrez que (n+1) ....(2n) est congru à n!  modulo p, c'est gagné en utilisant le théorème de Wilson.
Or à quoi sont congrus 2n, 2n-1, ....(n+1)  modulo p? En utilisant le fait que n est pair, vous devriez aboutir...

Alain.

Junior ste

Membre

Inscription : 03-11-2021

Messages : 93

Re : Application Théorème de Wilson

Salut.
Merci énormément.
En effet 2n*(2n-1)*....*(n+1)est congru à (n!)*(-1)^n=n! Car n pair.
Ainsi (2n!)+1 sera congru à (n!)^2 +1 modulo p=2n+1 d'où (n!)^2+1 sera congru à (2n)! -1 modulo p ( par symétrie de la relation " congru à")
Comme p est premier en utilisant le théorème de Wilson (p-1=2n)! Sera congru à -1 modo
De là il en ressort clairement que (n!)^2 +1 est congru à 0 mod p
Donc p divise (n!)^2 +1
   Gracias.....