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bouli

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Base d'un sous espace vectoriel de polynômes

Bonjour,
je suis en train de faire un exercice qui demande de déterminer une base du sous espace de polynômes P de degré inférieur ou égal à 3 tel que P'1)= P'(0).
Première étape, j'ai cherché les contraintes sur les coefficients que j'ai appelés a0, a1, a2 et a3.
J'ai trouvé que a3 = - (2/3)a2 avec a0, a1 et a2 réels.
Deuxième étape, en prenant a0=a1=a2 =1 je peux créer le polynôme  ou la fonction Polynôme P(x) = 1 + X +X² - (2/3)X^3.
Troisième étape : Je suis tenté d'écrire qu'une base est (1, X, X²; -(2/3)X^3)  dois-je rajouter la contrainte sur les coefficients a0 a1 a2 et a3 avec a3= -(2/3)a2 ? Si je prends Vect(base), elle n'engendrera pas forcément les données de l'énoncé.
Merci pour votre aide.
Bouli

bouli

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Re : Base d'un sous espace vectoriel de polynômes

Est-ce que la base suivante vous semble plausible  pour ma question ? (1,X, (X²-(2/3)X^3) ?
Merci pour le retour.
bouli

Eust_4che

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Re : Base d'un sous espace vectoriel de polynômes

Bonjour Bouli,

La première étape est bonne. On a bien $\{ P \in \mathbf{R}[X] \mid P'(1) = P'(0) \} = \{ a_3 X^3 + a_2 X^2 + a_1 X + a_0 \in \mathbf{R}[X] \mid 2a_2 + 3a_3 = 0 \}$. La deuxième étape est aussi correcte (mais elle pourrait être plus simple : pourquoi ne pas prendre directement $a_0 = a_1 = 0$ ?). La troisième étape est bonne aussi si l'écriture $X²; -(2/3)X^3$ est une faute de frappe pour $X^2 -(2/3)X^3$. Dans le cas contraire, en revanche, il y a un problème. Ton ensemble est de dimension $3$ (tu peux le voir comme le noyau de la forme linéaire $P \mapsto P'(1) - P'(0)$). 4 vecteurs ne peuvent donc pas former une base.

Le plus simple est d'identifier $\mathbf{R}_3[X]$ à $\mathbf{R}_4$ et de traduire les conditions portant sur les coefficients en condition portant sur des réels. C'est ce que tu as fait. Tu as montré que le sous-espace s'identifier à $\{ (a_0, a_1, a_2, a_3) \in \mathbf{R}^4 \mid 2a_2 + 3a_3 = 0 \}$. À partir de là, il est facile d'exhiber un ensemble "$\textrm{vect} $" et à lui donner une signification en terme de polynôme. Tu auras la réponse à ta question.

Bien à toi,

E.

bouli

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Re : Base d'un sous espace vectoriel de polynômes

Et donc une base du dernier ensemble que tu m'as donné peut s'écrire : a0(1;0;0;0) + a1(0;1;0;0)+a2(0;0;1;-2/3) et donc la famille de polynômes 1; X; X² - (2/3)X^3 constitue une base n'est-ce pas ? Merci pour ton retour  Eust_4che.
bouli

Eust_4che

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Re : Base d'un sous espace vectoriel de polynômes

C'est exactement ça

bouli

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Re : Base d'un sous espace vectoriel de polynômes

Merci Infiniment.

Leye

Invité

Re : Base d'un sous espace vectoriel de polynômes

Bonjour,
Je voulais déterminer une base de l'espace vectoriel H={P Rn[X] | P(1)=0}
Est ce que je pourrais avoir des indications
Merci

Rescassol

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Re : Base d'un sous espace vectoriel de polynômes

Bonjour,

1) Bien que ce soit dans le même esprit, tu pourrais ouvrir ton propre fil de discussion.
2) Qu'as tu essayé et qu'est ce qui te bloque ?
3) $\left\{(X-1)^k|k\in\{1...n\}\right\}$

Cordialement,
Rescassol

Dernière modification par Rescassol (25-01-2025 16:05:59)