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Bonjour,
Je voulais déterminer une base de l'espace vectoriel H={P Rn[X] | P(1)=0}
Est ce que je pourrais avoir des indications
Merci

C'est exactement ça

Bonjour Bouli,

La première étape est bonne. On a bien $\{ P \in \mathbf{R}[X] \mid P'(1) = P'(0) \} = \{ a_3 X^3 + a_2 X^2 + a_1 X + a_0 \in \mathbf{R}[X] \mid 2a_2 + 3a_3 = 0 \}$. La deuxième étape est aussi correcte (mais elle pourrait être plus simple : pourquoi ne pas prendre directement $a_0 = a_1 = 0$ ?). La troisième étape est bonne aussi si l'écriture $X²; -(2/3)X^3$ est une faute de frappe pour $X^2 -(2/3)X^3$. Dans le cas contraire, en revanche, il y a un problème. Ton ensemble est de dimension $3$ (tu peux le voir comme le noyau de la forme linéaire $P \mapsto P'(1) - P'(0)$). 4 vecteurs ne peuvent donc pas former une base.

Le plus simple est d'identifier $\mathbf{R}_3[X]$ à $\mathbf{R}_4$ et de traduire les conditions portant sur les coefficients en condition portant sur des réels. C'est ce que tu as fait. Tu as montré que le sous-espace s'identifier à $\{ (a_0, a_1, a_2, a_3) \in \mathbf{R}^4 \mid 2a_2 + 3a_3 = 0 \}$. À partir de là, il est facile d'exhiber un ensemble "$\textrm{vect} $" et à lui donner une signification en terme de polynôme. Tu auras la réponse à ta question.

Bien à toi,

E.

Bonjour,
je suis en train de faire un exercice qui demande de déterminer une base du sous espace de polynômes P de degré inférieur ou égal à 3 tel que P'1)= P'(0).
Première étape, j'ai cherché les contraintes sur les coefficients que j'ai appelés a0, a1, a2 et a3.
J'ai trouvé que a3 = - (2/3)a2 avec a0, a1 et a2 réels.
Deuxième étape, en prenant a0=a1=a2 =1 je peux créer le polynôme  ou la fonction Polynôme P(x) = 1 + X +X² - (2/3)X^3.
Troisième étape : Je suis tenté d'écrire qu'une base est (1, X, X²; -(2/3)X^3)  dois-je rajouter la contrainte sur les coefficients a0 a1 a2 et a3 avec a3= -(2/3)a2 ? Si je prends Vect(base), elle n'engendrera pas forcément les données de l'énoncé.
Merci pour votre aide.
Bouli