Forum de mathématiques - Bibm@th.net

ccapucine

Membre

Inscription : 19-05-2018

Messages : 195

Existence et unicité d'un problème de Cauchy linéaire

Bonjour,
soient $a$ et $b$ deux fonctions continues sur un intervalle $I$ de $\mathbb{R}$. On considère le problème de Cauchy suivant
$$
y'= a(x) y + b(x), y(x_0)=y_0
$$
La question est de montrer que ce problème de Cauchy admet une solution unique sur l'intervalle $I$ (sans appliquer directement le théorème de Cauchy Lipschitz).
On sait que dans le cas des équations différentielles linéaires, la continuité suffit. Mais comment démontrer ici que la continuité de a et b nous donne l'existence et l'unicité de ce problème de Cauchy?

Cordialement

Roro

Membre expert

Inscription : 07-10-2007

Messages : 1 801

Re : Existence et unicité d'un problème de Cauchy linéaire

Bonsoir,

Pour l'existence, tu peux utiliser la formule de Duhamel te donnant une solution explicite.

Pour l'unicité, tu prends deux solutions et tu regardes ce que vérifie la différence. Tu verras que tu peux obtenir explicitement la solution vérifier par la différence (en fait, tu refais la formule de Duhamel) et que tu trouveras 0.

Roro.

ccapucine

Membre

Inscription : 19-05-2018

Messages : 195

Re : Existence et unicité d'un problème de Cauchy linéaire

Mais dans l'exercice, on nous demande de démontrer l'existence et l'unicité puis après de calculer la solution
On ne peut pas montrer l'existence et l'unicité en utilisant la continuité sans passer par le calcul de la solution?

Roro

Membre expert

Inscription : 07-10-2007

Messages : 1 801

Re : Existence et unicité d'un problème de Cauchy linéaire

Tu peux redémontrer le théorème de Cauchy-Lipschitz dans ce cas particulier... si ça t'amuse.

Par contre, je te donnes une réponse et tu changes l'énoncé juste après : c'est pas très sympa... tu n'avais pas dit qu'il ne fallait pas utiliser la solution explicite, ce qui est pourtant évident ici.

Roro

Dernière modification par Roro (03-02-2022 18:40:28)