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#1 27-11-2021 15:33:11
- Abdoumahmoudy
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- Messages : 150
Isomorphisité d'un groupe
Bonjour
Ma question c'est si on a un groupe d'ordre 9 alors pourquoi elle est isomorphe à Z/9Z ou (Z/2Z)^2 ?
Quelqu'un peut m'aider s'il vous plaît .
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#2 27-11-2021 16:42:34
- bridgslam
- Membre
- Lieu : Rospez
- Inscription : 22-11-2011
- Messages : 1 299
Re : Isomorphisité d'un groupe
Bonjour,
Faux pour le second, $(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})^2$ OK.
On peut montrer que c’est général pour les groupes dont l’ordre est le carré d’un premier.
En étudiant le centre du groupe, on montre qu’il est commutatif.
Puis soit un élément est d’ordre 9, donc G est cyclique, soit tout élément non neutre est d’ordre 3 d’après le théorème de Lagrange.
Dans ce cas un morphisme naturel (à cause de la commutativité ) surjectif applique le groupe produit sur G, et comme les ordres sont égaux c’est un isomorphisme.
Alain
Dernière modification par bridgslam (29-11-2021 16:21:15)
"Ceux qui ne savent rien en savent toujours autant que ceux qui n'en savent pas plus qu'eux" -Pierre Dac
"Travailler sur un groupe haddock, ou être heureux comme un poisson dans l'eau..."
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