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Abdoumahmoudy

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Isomorphisité d'un groupe

Bonjour
Ma question c'est si on a un groupe d'ordre 9 alors pourquoi elle est isomorphe à Z/9Z ou (Z/2Z)^2 ?
Quelqu'un peut m'aider s'il vous plaît .

bridgslam

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Re : Isomorphisité d'un groupe

Bonjour,

Faux pour le second, $(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})^2$ OK.

On peut montrer que c’est général pour les groupes dont l’ordre est le carré d’un premier.
En étudiant le centre du groupe, on montre qu’il est commutatif.
Puis soit un élément est d’ordre 9, donc G est cyclique, soit tout élément non neutre est d’ordre 3 d’après le théorème de Lagrange.
Dans ce cas un morphisme naturel (à cause de la commutativité ) surjectif applique  le groupe produit sur  G,  et comme les ordres sont égaux c’est un isomorphisme.

▼plus précisément, dans le second cas

en prenant un x dans G, d'ordre 3 et un y hors de <x> l'application $( x^i , y^j) \rightarrow x^iy^j$ est bien un morphisme, son image est un sous-groupe contenant au moins 4 éléments, donc à 9 éléments (Lagrange) , il est donc surjectif, donc bijectif puisque les cardinaux des deux groupes sont égaux.

Alain

Dernière modification par bridgslam (29-11-2021 16:21:15)