Forum de mathématiques - Bibm@th.net

ccapucine

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Problème de Cauchy avec retard

Bonjour,
j'ai le problème de Cauchy avec retard suivant:
$$
du(t)/dt= au(t-\tau) - bu(t),
$$
$$
u(t)=u_0: -\tau < t < 0
$$
Comment calculer la solution de ce problème?
J'ai essayé en utilisant le facteur intégrant mais la présence du retard me perturbe.

Merci d'avance pour votre aide.

Roro

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Re : Problème de Cauchy avec retard

Bonjour,

Tu dois pouvoir résoudre cette équation avec la formule de Duhamel pour les edo d'ordre 1, en considérant le retard comme un terme source. Tu auras donc une solution sur $[0,\tau]$, puis sur $[\tau,2\tau]$, etc.

Roro.

ccapucine

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Re : Problème de Cauchy avec retard

Voici ce que j'ai essayé de faire.
On pose
$$
B(t)=\displaystyle\int_0^t b ds= bt.
$$
Sur l'intervalle $[0,\tau)$, la solution est:
$$
u(t)=a u_0 e^{B(t)} \displaystyle\int_0^t e^{B(s)} ds, \ \forall t \in [0,\tau).
$$
Sur l'intervalle $[\tau,2\tau)$, la solution est
$$
u(t)=e^{B(t)} \displaystyle\int_0^t u(\tau) e^{B(s)} ds, \forall t \in [\tau, 2\tau).
$$
Sur l'intervalle $[2\tau,3\tau)$, la solution est
$$
u(t)=e^{B(t)} \displaystyle\int_0^t u(2 \tau) e^{B(s)} ds, \forall t \in [2\tau,3\tau),
$$
où $$u(2 \tau)=e^{B(2\tau)} \displaystyle\int_0^{2\tau} u(\tau) e^{B(s)} ds$$.

Mais de tout ça, comment peut-on déduire la solution $u(t)$ pour tout $t$? Svp

Dernière modification par ccapucine (23-10-2021 18:46:37)

Roro

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Re : Problème de Cauchy avec retard

Re-bonjour,

Je ne pense pas qu'il y a une formule explicite pour tout $t$...

Roro.

ccapucine

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Re : Problème de Cauchy avec retard

J'ai fait une erreur. les coefficients $a$ et $b$ sont constants. Donc $B(t)=bt$ dans mon précédent message.
Est-ce que cela change quelque chose à la solution $u(t)$ pour tout $t$?

Roro

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Re : Problème de Cauchy avec retard

Je n'ai pas regardé en détail ce que tu as fait mais c'est juste une formule standard. Le fait que b soit constant ne me parait pas fondamental : à mon avis il n'y a pas de solution explicite (mais peut être que je me trompe).

Roro.

Mouad Joundy

Invité

Re : Problème de Cauchy avec retard

La façon de résoudre ce type d'équation est de considéré des intervalle de longueur $r$, donc pour $t$ dans $[0,r]$ on aura $u(t-r)=u_0$ ainsi l'équation devienne une E.D.O sa solution est $u(t)=e^{-bt}u(0)+\int_0^t e^{-b(t-s)} u_0(s-r) ds$ et tu peux montrer par récurrence qu'on peut construire la solution sur $[nr,(n+1)r], \forall n\in\mathbb{N}$. Pour plus de details sur le sujet vous pouvez voir la référence de Jack Hale Introduction to Functional Differential Equations.