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La façon de résoudre ce type d'équation est de considéré des intervalle de longueur $r$, donc pour $t$ dans $[0,r]$ on aura $u(t-r)=u_0$ ainsi l'équation devienne une E.D.O sa solution est $u(t)=e^{-bt}u(0)+\int_0^t e^{-b(t-s)} u_0(s-r) ds$ et tu peux montrer par récurrence qu'on peut construire la solution sur $[nr,(n+1)r], \forall n\in\mathbb{N}$. Pour plus de details sur le sujet vous pouvez voir la référence de Jack Hale Introduction to Functional Differential Equations.

J'ai fait une erreur. les coefficients $a$ et $b$ sont constants. Donc $B(t)=bt$ dans mon précédent message.
Est-ce que cela change quelque chose à la solution $u(t)$ pour tout $t$?

Voici ce que j'ai essayé de faire.
On pose
$$
B(t)=\displaystyle\int_0^t b ds= bt.
$$
Sur l'intervalle $[0,\tau)$, la solution est:
$$
u(t)=a u_0 e^{B(t)} \displaystyle\int_0^t e^{B(s)} ds, \ \forall t \in [0,\tau).
$$
Sur l'intervalle $[\tau,2\tau)$, la solution est
$$
u(t)=e^{B(t)} \displaystyle\int_0^t u(\tau) e^{B(s)} ds, \forall t \in [\tau, 2\tau).
$$
Sur l'intervalle $[2\tau,3\tau)$, la solution est
$$
u(t)=e^{B(t)} \displaystyle\int_0^t u(2 \tau) e^{B(s)} ds, \forall t \in [2\tau,3\tau),
$$
où $$u(2 \tau)=e^{B(2\tau)} \displaystyle\int_0^{2\tau} u(\tau) e^{B(s)} ds$$.

Mais de tout ça, comment peut-on déduire la solution $u(t)$ pour tout $t$? Svp

Bonjour,
j'ai le problème de Cauchy avec retard suivant:
$$
du(t)/dt= au(t-\tau) - bu(t),
$$
$$
u(t)=u_0: -\tau < t < 0
$$
Comment calculer la solution de ce problème?
J'ai essayé en utilisant le facteur intégrant mais la présence du retard me perturbe.

Merci d'avance pour votre aide.