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#1 17-09-2021 19:16:56

Buu
Membre
Inscription : 18-08-2021
Messages : 33

Racines de l’unité

Bonjour, j’ai un devoir maison et je bloque a une question.
Voici l’énoncé de l’exercice :
Énonce du devoir
Après beaucoup de recherche je n’arrive pas à faire la question 4.a.
Pouvez vous me donner des pistes de recherches sans me donner la réponse ?
Merci d’avance

Dernière modification par Buu (17-09-2021 19:17:49)

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#2 17-09-2021 23:36:19

bridgslam
Membre
Lieu : Rospez
Inscription : 22-11-2011
Messages : 1 299

Re : Racines de l’unité

Bonsoir,

Je pense que |x| signifie l’ordre de x comme élément du groupe, que sais-tu sur lui ?
Assez ambigu comme notation quand on travaille dans C, à cause du module mais bon...
Il y a pas mal d’infos selon les hypothèses qui devraient te mettre sur la voie.

Alain


"Ceux qui ne savent rien en savent toujours autant que ceux qui n'en savent pas plus qu'eux" -Pierre Dac
"Travailler sur un groupe haddock, ou être heureux comme un poisson dans l'eau..."

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#3 18-09-2021 00:27:05

bridgslam
Membre
Lieu : Rospez
Inscription : 22-11-2011
Messages : 1 299

Re : Racines de l’unité

Bonsoir,

[tex]x\in G_p[/tex], que peux-tu en déduire... or x n’est pas dans [tex]\mathbb{U}_{p^{k_0}}[/tex] donc...
Lorsque l’on a dans un groupe une relation comme [tex]g^r = 1[/tex], que peux-tu en déduire pour [tex]|g|[/tex] ?

Dans la foulée pour le b/   à quel groupe appartient précisément x ? Et quel est l’ordre de ce groupe ?
En comparant à l’ordre de x, tu peux alors répondre à b/

Pour c/ raisonner par l’absurde: que se passe-il si x est dans H ? ( penser à <x> et s’aider de b/  )

Pour conclure : le complémentaire dans [tex]G_p[/tex] de ... est dans le complémentaire de H.
Donc H \ ..... = ....... d’où la conclusion.

L’exercice fournit donc une infinité dénombrable de groupes infinis abéliens dont tous les s-g stricts soient finis
( et cycliques, petite cerise sur le gâteau... ).
Je pense que ce sont les seuls.

Alain

Dernière modification par bridgslam (18-09-2021 08:50:00)


"Ceux qui ne savent rien en savent toujours autant que ceux qui n'en savent pas plus qu'eux" -Pierre Dac
"Travailler sur un groupe haddock, ou être heureux comme un poisson dans l'eau..."

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#4 19-09-2021 21:36:42

Buu
Membre
Inscription : 18-08-2021
Messages : 33

Re : Racines de l’unité

Bonsoir, merci pour votre aide qui m’a été précieuse je pense avoir tout réussi.
Pour la dernière question j’ai raisonné par contraposée:
On a:
x[tex] \in [/tex]Gp et x[tex] \notin[/tex]Upk0[tex] \Rightarrow[/tex] x [tex] \notin[/tex]H
Par contraposée:
x [tex] \in[/tex]H [tex] \Rightarrow[/tex] x[tex] \notin [/tex]Gp ou x[tex] \in[/tex]Upk0
Or x appartient forcément à Gp car H[tex] \subset[/tex]Gp
Ainsi x [tex] \in[/tex]Upk0[tex]
Donc par double inclusion ( la première inclusion est donnée par la question 3)
H =Upk0

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#5 20-09-2021 18:38:09

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 16 946

Re : Racines de l’unité

Bonsoir,

Voir :
https://www.maths-forum.com/superieur/r … 40553.htmlen général assez mal apprécié...

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