Forum de mathématiques - Bibm@th.net

SébastienB

Membre

Lieu : Annecy

Inscription : 16-06-2008

Messages : 55

Somme des termes d'une suite géométrique

Bonjour à tous, vive Bibm@th!
Ravi de voir que vous êtes toujours là.

Je suis en train de faire ce Mooc là : https://www.fun-mooc.fr/fr/cours/genius … ematiques/

Et il y a une suite géométrique définie par la relation de récurrence [tex]U_n = 0.6 \times U_{n - 1}[/tex]

Soit en définition explicite: [tex]U_n = U_1 \times 0.6_{n - 1}[/tex]

Jusque là ça va pas de problème j'ai compris. Mais je ne comprends pas l'égalité suivante:

[tex]U_1 + ... + U_n = \frac{1 - 0.6^n}{1 - 0.6}. U_1 = \frac{5}{2}(1 - 0.6^n) . U_1[/tex]

Comment on trouve ça ? Et d'ou ils viennent les [tex]\frac{5}{2}[/tex] ? Pourriez vous m'expliquer svp ?

D'avance merci.

yoshi

Modo Ferox

Inscription : 20-11-2005

Messages : 17 385

Re : Somme des termes d'une suite géométrique

Bonjour,

Tout d'abord
1.

Soit en définition explicite: [tex]U_n = U_1 \times 0.6_{n - 1}[/tex]

Non ! [tex]U_n = U_1 \times 0.6^{n - 1}[/tex] erreur LateX, je présume...

2. Ensuite, je suppose que $U_1=\dfrac 5 2$
Donc, ici :
$U_n= \frac{5}{2}(1 - 0.6^n) . U_1$ le $U_1$, n'a pas lieu d'être : $...= \frac{5}{2}(1 - 0.6^n) $

Soit $(a_n)_{n \in \mathbb N}$ une suite géométrique de raison q et de de premier terme $a_1$

La somme $S_n$ de ses termes est  (résultat à connaître) : $S_n=a_1\times \dfrac{1-q^n}{1-q}$
Si le 1er terme est $a_0$ et non $a_1$,
$S_n=a_0\times \dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}$
Ici $q = 0,6$  (certain) et $a1 =\dfrac 5 2$ (probable).

Exemple.
La légende de Sissah dit que ce Brahmane en récompense de la création du Tchaturanga (=le jeu des Rois), ancêtre du jeu d'Echecs, demanda en récompense :
1 grain de blé  sur la première case, 2 sur la 2e case, 4 sur la 3e case ...  et ainsi de suite jusqu'à la 64e case...
Combien de grains au total a-t-il réclamé ?
On a une suite géométrique de raison 2 et premier terme 1 :
$S_64 = 1+2+4+8+16+....=1\times \dfrac{1-2^6}{1-2}=2^{64}-1=18446744073709551615$

Tu peux aller jeter un œil là : https://www.bibmath.net/forums/viewtopi … 911#p94911, où je renvoie vers Wikipedia (pour 2 démos) et  l'APMEP (Association des Professeurs de Mathématiques de l’Enseignement Public).

@+
[EDIT]

$U_n= \frac{5}{2}(1 - 0.6^n) . U_1$ le $U_1$, n'a pas lieu d'être : $...= \frac{5}{2}(1 - 0.6^n) $

Bien sûr, je suis allé un peu vite et avec l'erreur infra signalée par BlackJack cette ligne devenait incorrecte.
Et donc là, je persévérais dans mon erreur :

Ici $q = 0,6$  (certain) et $a1 =\dfrac 5 2$ (probable).

!)
Toutes mes excuses...
Dont acte.

Dernière modification par yoshi (18-08-2021 11:15:07)

Black Jack

Membre

Inscription : 15-12-2017

Messages : 509

Re : Somme des termes d'une suite géométrique

Bonjour,

Je pense que la formule donnée, soit U1 + ... + Un = (5/2) * (1 - 0,6^n) * U1 est correcte quelle que soit la valeur de U1

La somme S de n termes en progression géométrique de raison q et de premier terme a est S = a * (1 - q^n)/(1-q)

Ici , a = U1 et q = 0,6 et donc : U1 + U2 + U3 + ... + Un = U1 * (1 - 0,6^n)*(1 - 0,6)

et avec 1/(1-0,6) = 5/2 --> U1 + U2 + U3 + ... + Un = (5/2) * U1 * (1 - 0,6^n)
*********

Vérification dans un cas numérique :

exemple : U1 = 17 et n = 4

U1 = 17
U2 = 17*0,6 = 10,2
U3 = 10,2*0,6 = 6,12
U4 = 6,12*0,6 = 3,672

U1 + U2 + U3 + U4 = 17 + 10,2 + 6,12 + 3,672 = 36,992

Et par S = (5/2) * U1 * (1 - 0,6^n)
on a S = 5/2 * 17 * (1 - 0,6^4) = 5/2 * 17 * 0,8704 = 36,992

Dernière modification par Black Jack (18-08-2021 10:06:52)

yoshi

Modo Ferox

Inscription : 20-11-2005

Messages : 17 385

Re : Somme des termes d'une suite géométrique

Re,

1/(1-0,6) = 5/2 --> U1 + U2 + U3 + ... + Un = (5/2) * U1 * (1 - 0,6^n)

Tu penses bien !...
Il ne m'est pas venu à l'esprit que :
$\dfrac{1}{1-0,6} = \dfrac{1}{0,4}=\dfrac{1}{\dfrac{4}{10}}=\dfrac{ 1}{\dfrac{2}{5}}=\dfrac 5 2$
C'était finaud !

Par contre, là, je ne suis pas d'accord :

$U_1 + U_2 + U_3 + ... + U_n = U_1 \times (1 - 0,6^n)\times (1 - 0,6)$

0,6 étant la raison, on doit avoir :
$U_1 + U_2 + U_3 + ... + U_n = U_1 \times\dfrac{ (1 - 0,6^n)}{(1 - 0,6)}$

Ton doigt a dérapé...

@+

Black Jack

Membre

Inscription : 15-12-2017

Messages : 509

Re : Somme des termes d'une suite géométrique

Re,

1/(1-0,6) = 5/2 --> U1 + U2 + U3 + ... + Un = (5/2) * U1 * (1 - 0,6^n)

Tu penses bien !...
Il ne m'est pas venu à l'esprit que :
$\dfrac{1}{1-0,6} = \dfrac{1}{0,4}=\dfrac{1}{\dfrac{4}{10}}=\dfrac{ 1}{\dfrac{2}{5}}=\dfrac 5 2$
C'était finaud !

Par contre, là, je ne suis pas d'accord :

$U_1 + U_2 + U_3 + ... + U_n = U_1 \times (1 - 0,6^n)\times (1 - 0,6)$

0,6 étant la raison, on doit avoir :
$U_1 + U_2 + U_3 + ... + U_n = U_1 \times\dfrac{ (1 - 0,6^n)}{(1 - 0,6)}$

Ton doigt a dérapé...

@+

Oui, il faut lire : U1 * (1 - 0,6^n)/(1 - 0,6)

:)