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Résumé de la discussion (messages les plus récents en premier)
- Black Jack
- 18-08-2021 12:47:25
Re,
BlackJack a écrit :1/(1-0,6) = 5/2 --> U1 + U2 + U3 + ... + Un = (5/2) * U1 * (1 - 0,6^n)
Tu penses bien !...
Il ne m'est pas venu à l'esprit que :
$\dfrac{1}{1-0,6} = \dfrac{1}{0,4}=\dfrac{1}{\dfrac{4}{10}}=\dfrac{ 1}{\dfrac{2}{5}}=\dfrac 5 2$
C'était finaud !Par contre, là, je ne suis pas d'accord :
BlackJack a écrit :$U_1 + U_2 + U_3 + ... + U_n = U_1 \times (1 - 0,6^n)\times (1 - 0,6)$
0,6 étant la raison, on doit avoir :
$U_1 + U_2 + U_3 + ... + U_n = U_1 \times\dfrac{ (1 - 0,6^n)}{(1 - 0,6)}$Ton doigt a dérapé...
@+
Oui, il faut lire : U1 * (1 - 0,6^n)/(1 - 0,6)
:)
- yoshi
- 18-08-2021 11:06:16
Re,
1/(1-0,6) = 5/2 --> U1 + U2 + U3 + ... + Un = (5/2) * U1 * (1 - 0,6^n)
Tu penses bien !...
Il ne m'est pas venu à l'esprit que :
$\dfrac{1}{1-0,6} = \dfrac{1}{0,4}=\dfrac{1}{\dfrac{4}{10}}=\dfrac{ 1}{\dfrac{2}{5}}=\dfrac 5 2$
C'était finaud !
Par contre, là, je ne suis pas d'accord :
$U_1 + U_2 + U_3 + ... + U_n = U_1 \times (1 - 0,6^n)\times (1 - 0,6)$
0,6 étant la raison, on doit avoir :
$U_1 + U_2 + U_3 + ... + U_n = U_1 \times\dfrac{ (1 - 0,6^n)}{(1 - 0,6)}$
Ton doigt a dérapé...
@+
- Black Jack
- 18-08-2021 10:03:53
Bonjour,
Je pense que la formule donnée, soit U1 + ... + Un = (5/2) * (1 - 0,6^n) * U1 est correcte quelle que soit la valeur de U1
La somme S de n termes en progression géométrique de raison q et de premier terme a est S = a * (1 - q^n)/(1-q)
Ici , a = U1 et q = 0,6 et donc : U1 + U2 + U3 + ... + Un = U1 * (1 - 0,6^n)*(1 - 0,6)
et avec 1/(1-0,6) = 5/2 --> U1 + U2 + U3 + ... + Un = (5/2) * U1 * (1 - 0,6^n)
*********
Vérification dans un cas numérique :
exemple : U1 = 17 et n = 4
U1 = 17
U2 = 17*0,6 = 10,2
U3 = 10,2*0,6 = 6,12
U4 = 6,12*0,6 = 3,672
U1 + U2 + U3 + U4 = 17 + 10,2 + 6,12 + 3,672 = 36,992
Et par S = (5/2) * U1 * (1 - 0,6^n)
on a S = 5/2 * 17 * (1 - 0,6^4) = 5/2 * 17 * 0,8704 = 36,992
- yoshi
- 17-08-2021 11:08:27
Bonjour,
Tout d'abord
1.
Soit en définition explicite: [tex]U_n = U_1 \times 0.6_{n - 1}[/tex]
Non ! [tex]U_n = U_1 \times 0.6^{n - 1}[/tex] erreur LateX, je présume...
2. Ensuite, je suppose que $U_1=\dfrac 5 2$
Donc, ici :
$U_n= \frac{5}{2}(1 - 0.6^n) . U_1$ le $U_1$, n'a pas lieu d'être : $...= \frac{5}{2}(1 - 0.6^n) $
Soit $(a_n)_{n \in \mathbb N}$ une suite géométrique de raison q et de de premier terme $a_1$
La somme $S_n$ de ses termes est (résultat à connaître) : $S_n=a_1\times \dfrac{1-q^n}{1-q}$
Si le 1er terme est $a_0$ et non $a_1$,
$S_n=a_0\times \dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}$
Ici $q = 0,6$ (certain) et $a1 =\dfrac 5 2$ (probable).
Exemple.
La légende de Sissah dit que ce Brahmane en récompense de la création du Tchaturanga (=le jeu des Rois), ancêtre du jeu d'Echecs, demanda en récompense :
1 grain de blé sur la première case, 2 sur la 2e case, 4 sur la 3e case ... et ainsi de suite jusqu'à la 64e case...
Combien de grains au total a-t-il réclamé ?
On a une suite géométrique de raison 2 et premier terme 1 :
$S_64 = 1+2+4+8+16+....=1\times \dfrac{1-2^6}{1-2}=2^{64}-1=18446744073709551615$
Tu peux aller jeter un œil là : https://www.bibmath.net/forums/viewtopi … 911#p94911, où je renvoie vers Wikipedia (pour 2 démos) et l'APMEP (Association des Professeurs de Mathématiques de l’Enseignement Public).
@+
[EDIT]
$U_n= \frac{5}{2}(1 - 0.6^n) . U_1$ le $U_1$, n'a pas lieu d'être : $...= \frac{5}{2}(1 - 0.6^n) $
Bien sûr, je suis allé un peu vite et avec l'erreur infra signalée par BlackJack cette ligne devenait incorrecte.
Et donc là, je persévérais dans mon erreur :
Ici $q = 0,6$ (certain) et $a1 =\dfrac 5 2$ (probable).
!)
Toutes mes excuses...
Dont acte.
- SébastienB
- 17-08-2021 10:28:53
Bonjour à tous, vive Bibm@th!
Ravi de voir que vous êtes toujours là.
Je suis en train de faire ce Mooc là : https://www.fun-mooc.fr/fr/cours/genius … ematiques/
Et il y a une suite géométrique définie par la relation de récurrence [tex]U_n = 0.6 \times U_{n - 1}[/tex]
Soit en définition explicite: [tex]U_n = U_1 \times 0.6_{n - 1}[/tex]
Jusque là ça va pas de problème j'ai compris. Mais je ne comprends pas l'égalité suivante:
[tex]U_1 + ... + U_n = \frac{1 - 0.6^n}{1 - 0.6}. U_1 = \frac{5}{2}(1 - 0.6^n) . U_1[/tex]
Comment on trouve ça ? Et d'ou ils viennent les [tex]\frac{5}{2}[/tex] ? Pourriez vous m'expliquer svp ?
D'avance merci.