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#1 27-07-2021 19:31:10
- Tom 832
- Membre
- Inscription : 27-07-2021
- Messages : 9
Limites : formes indéterminées
Bonjour à tous et à toutes
J'ai un problème de maths que j'arrive pas à résoudre
Lim ( sin(πcosx) −1)/3x−π
X->π/3
En essayant de calculer la limite je tombe évidement sur une forme indéterminée que je n'arrive pas à lever.
Pouvez-vous m'aider s'il vous plaît.
Merci d'avance
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#2 27-07-2021 20:04:06
- yoshi
- Modo Ferox
- Inscription : 20-11-2005
- Messages : 16 948
Re : Limites : formes indéterminées
Bonsoir
$\lim\limits_{x \to \frac{\pi}{3}} \dfrac{\sin(\pi\cos x) −1}{3x−\pi}$
ou
$\lim\limits_{x \to \frac{\pi}{3}} \dfrac{\sin(\pi\cos x) −1}{3x}-\pi$ ?
Logiquement, le 1er cas...
@+
Dernière modification par yoshi (27-07-2021 20:38:11)
Arx Tarpeia Capitoli proxima...
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#4 27-07-2021 21:06:48
- Paco del Rey
- Invité
Re : Limites : formes indéterminées
Bonsoir Tom.
Peux-tu calculer la dérivée de [tex]x \mapsto \sin(\pi \cos x)[/tex] ?
Paco
#5 27-07-2021 21:25:14
- Zebulor
- Membre expert
- Inscription : 21-10-2018
- Messages : 2 075
Re : Limites : formes indéterminées
Bonsoir,
je ferais un changement de variable en posant $x=\frac {\pi}{3}+h$ de sorte à te retrouver avec une limite d'une fraction $g(h)$ lorsque $h$ tend vers 0.
La "difficulté" principale selon moi est alors de trouver un équivalent simple de $cos(\frac {\pi}{3}+h)$ lorsque h tend vers 0, mais ça se fait...
EDIT : pris de vitesse par Paco qui propose une autre méthode...
Dernière modification par Zebulor (27-07-2021 21:26:28)
En matière d'intégrales impropres les intégrales les plus sales sont les plus instructives.
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#7 28-07-2021 08:52:21
- Zebulor
- Membre expert
- Inscription : 21-10-2018
- Messages : 2 075
Re : Limites : formes indéterminées
Bonjour,
Ça donne
π.(−sin(x)).cos(π.cos(x))
Si je me trompe pasComment poursuivre à partir de là
@Tom : jette un coup d'oeil là dessus :
http://www.bibmath.net/dico/index.php?a … pital.html
Dernière modification par Zebulor (28-07-2021 09:01:34)
En matière d'intégrales impropres les intégrales les plus sales sont les plus instructives.
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#8 28-07-2021 09:54:45
- Paco del Rey
- Invité
Re : Limites : formes indéterminées
Bonjour Tom.
Lorsque tu reviens à la définition du nombre dérivé d'une fonction [tex]f[/tex] en un point [tex]a[/tex], tu trouves que
[tex]f'(a) = \lim\limits_{x\to a} \dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}[/tex].
C'est, à un facteur près, la limite que tu cherches.
Sinon le changement de variable indiqué par Zébulor (que je salue), c'est la règle d'hygiène du calcul des limites ailleurs qu'en zéro.
Paco.
#9 28-07-2021 11:12:49
- Black Jack
- Membre
- Inscription : 15-12-2017
- Messages : 470
Re : Limites : formes indéterminées
Bonjour,
Dans le supérieur, on devrait connaître la règle du génial Marquis de Lhospital qui donne la solution instantanément (ou presque).
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#11 28-07-2021 20:18:42
- Tom 832
- Membre
- Inscription : 27-07-2021
- Messages : 9
Re : Limites : formes indéterminées
J'ai juste une dernière question : limites
( je fais génie mécanique 1ère année) Le prof nous a demandé de calculer une limite pour demain.
Lim ((e)^x - x - 1)/(x^2)
X->0
Avec l'hospital ça marche et on trouve 1/2 . Mais le prof demande de calculer sans cette méthode ( par une démarche simple )auriez-vous une autre méthode de calcul s'il vous plaît.
Merci d'avance
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#12 28-07-2021 21:04:33
- yoshi
- Modo Ferox
- Inscription : 20-11-2005
- Messages : 16 948
Re : Limites : formes indéterminées
Re,
Peut-être avec les développements limités.
Au voisinage de zéro le DL de $e^x$ à l'ordre 2 est $1+x+\frac{x^2}{2!}$
Un équivalent du numérateur est
$e^x -x -1 \sim 1+x+\frac{x^2}{2}-x-1=\frac{x^2}{2}$
Donc celui du quotient est :
$\dfrac{e^x -x -1}{x^2} \sim \dfrac{\dfrac{x^2}{2}}{x^2}$...
Jette un coup d’œil là-dessus :
http://www.bibmath.net/ressources/index … s/dls.html
Il y a bien longtemps que je n'ai pas utilisé les DL, si j'ai été imprécis, alors précisez davantage !
A l'ordre 3 :
le DL de $e^x$ à l'ordre 2 est $1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}$
Et on arrive à
$\lim\limits_{x\to 0} \dfrac{e^x -x -1}{x^2} =\lim\limits_{x\to 0} \dfrac{\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{6}}{x^2}=\lim\limits_{x\to 0} \frac 1 2+\frac x 6$
Et comme $\lim\limits_{x\to 0}\frac x 6 =0$....
C'est peut-être plus sérieux d'aller jusqu'à l'ordre 3..
Pousser plus loin est inutile (les limites 0 s'enchaîneraient)...
@+
Arx Tarpeia Capitoli proxima...
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#13 28-07-2021 22:00:25
- Paco del Rey
- Invité
Re : Limites : formes indéterminées
@ yoshi.
L'écriture [tex]e^x−x−1\sim 1+x+\frac{x^2}2−x−1=\frac{x^2}2[/tex] donne l'impression que tu utilises une somme d'équivalents ce qui est hautement suspect. Il vaut mieux écrire des sommes de développements limités (l'ordre 2 suffit par ailleurs).
Si on veut éviter les développements limités et le théorème du Divin Marquis, on peut utiliser la fonction [tex]g:x\neq0 \mapsto \dfrac{e^x−x−1}x[/tex] prolongée par [tex]g(0)=0[/tex], mais on tombe sur d'autres difficultés (théorème de prolongement [tex]C^1[/tex]).
Paco
#15 29-07-2021 09:25:46
- Tom 832
- Membre
- Inscription : 27-07-2021
- Messages : 9
Re : Limites : formes indéterminées
J'y arrive avec le développement limité mais nous ne sommes pas encore arrivés à cette méthode de résolution je doute que le prof l'autorise. Connaissez-vous une méthode classique simple s'il vous plaît?
Merci d'avance
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#16 29-07-2021 09:39:31
- yoshi
- Modo Ferox
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- Messages : 16 948
Re : Limites : formes indéterminées
Bonjour,
@Paco
L'écriture [tex]e^x−x−1\sim 1+x+\frac{x^2}{2!}−x−1=\frac{x^2}2[/tex] donne l'impression que tu utilises une somme d'équivalents ce qui est hautement suspect. Il vaut mieux écrire des sommes de développements limités (l'ordre 2 suffit par ailleurs)..
Ok ! Voudrais-tu bien en donner une écriture non "hautement suspecte"
Déjà, je pense que j'aurais dû ajouter le o.
Je ne ne l'ai pas fait parce que j'ignore quel niveau d'exigence théorique on a en "Génie électrique"...
@+
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#17 29-07-2021 13:03:59
- Paco del Rey
- Invité
Re : Limites : formes indéterminées
Effectivement,
tu peux écrire un développement limité à l'ordre 2:
[tex]e^x = 1 + x + \dfrac{x^2}2 + o(x^2)[/tex] donc
[tex]e^x - 1 - x = \dfrac{x^2}2 + o(x^2)[/tex] et en particulier
[tex]e^x - 1 - x \sim \dfrac{x^2}2 [/tex].
Sinon, pour résoudre le problème de Tom de façon élémentaire, il est possible de travailler par encadrements, par exemple
[tex]\forall x \in[0,1], \; 1+x+\dfrac{x^2}2+\dfrac{x^3}6 \leq \exp(x) \leq 1+x+\dfrac{x^2}2+e\dfrac{x^3}6[/tex]
et
[tex]\forall x \in]-\infty,0], \; 1+x+\dfrac{x^2}2+\dfrac{x^3}6 \leq \exp(x) \leq 1+x+\dfrac{x^2}2[/tex].
On obtient ces inégalités par des études de fonctions.
Élémentaire ne signifie pas simple...
Paco
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