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Résumé de la discussion (messages les plus récents en premier)

Tom 832
29-07-2021 22:45:44

Bonsoir.
Merci à tout le monde vous m'avez bien guidé. Le fait d'aider les gens dans les forums à ses réalités et ne voudrais manquer de reconnaissance.
Un grand merci à vous. Soyez BÉNIS

Paco del Rey
29-07-2021 13:03:59

Effectivement,

tu peux écrire un développement limité à l'ordre 2:
[tex]e^x = 1 + x + \dfrac{x^2}2 + o(x^2)[/tex] donc
[tex]e^x - 1 - x = \dfrac{x^2}2 + o(x^2)[/tex] et en particulier
[tex]e^x - 1 - x \sim \dfrac{x^2}2 [/tex].

Sinon, pour résoudre le problème de Tom de façon élémentaire, il est possible de travailler par encadrements, par exemple
[tex]\forall x \in[0,1], \; 1+x+\dfrac{x^2}2+\dfrac{x^3}6 \leq \exp(x) \leq 1+x+\dfrac{x^2}2+e\dfrac{x^3}6[/tex]
et
[tex]\forall x \in]-\infty,0], \; 1+x+\dfrac{x^2}2+\dfrac{x^3}6 \leq \exp(x) \leq 1+x+\dfrac{x^2}2[/tex].
On obtient ces inégalités par des études de fonctions.

Élémentaire ne signifie pas simple...

Paco

yoshi
29-07-2021 09:39:31

Bonjour,

@Paco

L'écriture [tex]e^x−x−1\sim 1+x+\frac{x^2}{2!}−x−1=\frac{x^2}2[/tex] donne l'impression que tu utilises une somme d'équivalents ce qui est hautement suspect. Il vaut mieux écrire des sommes de développements limités (l'ordre 2 suffit par ailleurs)..

Ok ! Voudrais-tu bien en donner une écriture non "hautement suspecte"
Déjà, je pense que j'aurais dû ajouter le o.
Je ne ne l'ai pas fait parce que j'ignore quel niveau d'exigence théorique on a en "Génie électrique"...

@+

Tom 832
29-07-2021 09:25:46

J'y arrive avec le développement limité mais nous ne sommes pas encore arrivés à cette méthode de résolution je doute que le prof l'autorise. Connaissez-vous une méthode classique simple s'il vous plaît?
Merci d'avance

Tom 832
29-07-2021 00:18:32

Salut Merci beaucoup pour vos indications.Vos réponses m'ont beaucoup aidé. Je vais essayer
Mais juste au cas où: est-ce qu'il existe une autre méthode ?

Paco del Rey
28-07-2021 22:00:25

@ yoshi.

L'écriture [tex]e^x−x−1\sim 1+x+\frac{x^2}2−x−1=\frac{x^2}2[/tex] donne l'impression que tu utilises une somme d'équivalents ce qui est hautement suspect. Il vaut mieux écrire des sommes de développements limités (l'ordre 2 suffit par ailleurs).

Si on veut éviter les développements limités et le théorème du Divin Marquis, on peut utiliser la fonction [tex]g:x\neq0 \mapsto \dfrac{e^x−x−1}x[/tex] prolongée par [tex]g(0)=0[/tex], mais on tombe sur d'autres difficultés (théorème de prolongement [tex]C^1[/tex]).

Paco

yoshi
28-07-2021 21:04:33

Re,

Peut-être avec les développements limités.
Au voisinage de zéro le DL de $e^x$ à l'ordre 2 est $1+x+\frac{x^2}{2!}$
Un équivalent du numérateur est
$e^x -x -1 \sim 1+x+\frac{x^2}{2}-x-1=\frac{x^2}{2}$
Donc celui du quotient est :
$\dfrac{e^x -x -1}{x^2} \sim \dfrac{\dfrac{x^2}{2}}{x^2}$...
Jette un coup d’œil là-dessus :
http://www.bibmath.net/ressources/index … s/dls.html

Il y a bien longtemps que je n'ai pas utilisé les DL, si j'ai été imprécis, alors précisez davantage !

A l'ordre 3 :
le DL de $e^x$ à l'ordre 2 est $1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}$
Et on arrive à
$\lim\limits_{x\to 0} \dfrac{e^x -x -1}{x^2} =\lim\limits_{x\to 0} \dfrac{\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{6}}{x^2}=\lim\limits_{x\to 0} \frac 1 2+\frac x 6$ 
Et comme $\lim\limits_{x\to 0}\frac x 6 =0$....
C'est peut-être plus sérieux d'aller jusqu'à l'ordre 3..
Pousser plus loin est inutile (les limites 0 s'enchaîneraient)...

@+

Tom 832
28-07-2021 20:18:42

J'ai juste une dernière question : limites

( je fais génie mécanique 1ère année) Le prof nous a demandé de calculer une limite pour demain.
Lim  ((e)^x - x - 1)/(x^2)
X->0
Avec l'hospital ça marche et on trouve 1/2 . Mais le prof demande de calculer sans cette méthode ( par une démarche  simple )auriez-vous une autre méthode de calcul s'il vous plaît.
Merci d'avance

Tom 832
28-07-2021 19:54:39

Salut
Merci beaucoup à vous avec l'hospital ça marche
Un grand merci je ne pensais pas trouver un tel soutien ici

Black Jack
28-07-2021 11:12:49

Bonjour,

Dans le supérieur, on devrait connaître la règle du génial Marquis de Lhospital qui donne la solution instantanément (ou presque).

Paco del Rey
28-07-2021 09:54:45

Bonjour Tom.

Lorsque tu reviens à la définition du nombre dérivé d'une fonction [tex]f[/tex] en un point [tex]a[/tex], tu trouves que
[tex]f'(a) = \lim\limits_{x\to a} \dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}[/tex].
C'est, à un facteur près, la limite que tu cherches.

Sinon le changement de variable indiqué par Zébulor (que je salue), c'est la règle d'hygiène du calcul des limites ailleurs qu'en zéro.
Paco.

Zebulor
28-07-2021 08:52:21

Bonjour,

Tom 832 a écrit :

Ça donne
π.(−sin(x)).cos(π.cos(x))
Si je me trompe pas

Comment poursuivre à partir de là

@Tom : jette un coup d'oeil là dessus :

http://www.bibmath.net/dico/index.php?a … pital.html

Tom 832
27-07-2021 22:06:44

Ça donne
π.(−sin(x)).cos(π.cos(x))
Si je me trompe pas

Comment poursuivre à partir de là

Zebulor
27-07-2021 21:25:14

Bonsoir,
je ferais un changement de variable en posant $x=\frac {\pi}{3}+h$ de sorte à te retrouver avec une limite d'une fraction $g(h)$ lorsque $h$ tend vers 0.
La "difficulté" principale selon moi est alors de trouver un équivalent simple de $cos(\frac {\pi}{3}+h)$ lorsque h tend vers 0, mais ça se fait...
EDIT : pris de vitesse par Paco qui propose une autre méthode...

Paco del Rey
27-07-2021 21:06:48

Bonsoir Tom.

Peux-tu calculer la dérivée de [tex]x \mapsto \sin(\pi \cos x)[/tex] ?

Paco

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