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#1 21-03-2017 21:49:08
- hichem
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- Messages : 107
série de fonctions
Bonsoir a tous !
dans un exercice on nous demande de montrer la convergence absolue de cette série :
[tex]F_n(x) = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\tan^n(x)}{n^2+4}[/tex]
on utilisant le critére de cauchy on peut demontrer que :
[tex]\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|F_n(x)|} = \lim_{n \to \infty} \frac{|\tan(x)|}{\sqrt[n]{n^2+4}} = |\tan(x)|[/tex]
donc elle converge [tex]\forall x \in ]-\frac{\pi}{4}+k\pi,\frac{\pi}{4}+k\pi[[/tex],
et pour [tex]\frac{\pi}{4} et - \frac{\pi}{4}[/tex] c'est une série de riemann convergente aussi !
je voudrais just savoir si ce que j'ai trouver est just ou pas, merci d'avance !
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#4 22-03-2017 16:39:55
- Yassine
- Membre
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- Messages : 1 090
Re : série de fonctions
Juste pour couper les cheveux en quatre :
L'écriture $\displaystyle F_n(x) = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\tan^n(x)}{n^2+4}$ est incorrecte (le $n$ à gauche n'a rien à voir avec le $n$ à droite).
J'imagine que tu voulais écrire $\displaystyle F_n(x) = \sum_{j=1}^{n}\frac{\tan^j(x)}{j^2+4}$
d'autre part, l'égalité $\displaystyle \lim_n \sqrt[n]{|F_n(x)|} = \lim_n \frac{|\tan(x)|}{\sqrt[n]{n^2+4}}$ est fausse !
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#6 24-03-2017 13:40:45
- Yassine
- Membre
- Inscription : 09-04-2013
- Messages : 1 090
Re : série de fonctions
Bonjour,
Je reprends exactement tes expressions, tu définis $F_n(x)$ par
$\displaystyle F_n(x) = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\tan^n(x)}{n^2+4}$
(il y a déjà un problème avec cette définition)
Ensuite, tu écris $\displaystyle \lim_n \sqrt[n]{|F_n(x)|} = \lim_n \frac{|\tan(x)|}{\sqrt[n]{n^2+4}}$. Donc, si j remplace $F_n(x)$ par l'expression que tu en donnes, cela revient à écrire :
$\displaystyle \lim_n \sqrt[n]{\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\tan^n(x)}{n^2+4}} = \lim_n \frac{|\tan(x)|}{\sqrt[n]{n^2+4}}$
Il y a un premier problème : dans le membre de gauche, l'indice $n$ est utilisé comme variable qu'on fait tendre vers l'infini (pour la limite) et également comme indice pour la somme. Si on règle ce problème en mettant un autre indice, cela donnerait
$\displaystyle \lim_n \sqrt[n]{\sum_{l=1}^{\infty}\frac{\tan^l(x)}{l^2+4}} = \lim_n \frac{|\tan(x)|}{\sqrt[n]{n^2+4}}$ qui est une affirmation non démontrée ($\displaystyle \lim_n \sqrt[n]{g(x)}=1$ quand $g(x) > 0$).
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#7 24-03-2017 14:25:48
- hichem
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- Messages : 107
Re : série de fonctions
vous avez raison, ce que j'aurais du ecrire est :
[tex]F_n = \sum_{k=1}^{n} U_k(x)[/tex]
et puis
[tex]\lim_{k \to n} \sqrt[n]{U_n}[/tex]
Merci pour votre remarque !
Dernière modification par hichem (24-03-2017 14:26:51)
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