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Fais attention à ce que tu écris, ça peut te coûter de précieux points !
C'est $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{U_n}$ et non $\displaystyle \lim_{k \to n} \sqrt[n]{U_n}$

Bonjour,
Je reprends exactement tes expressions, tu définis $F_n(x)$ par
$\displaystyle F_n(x) = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\tan^n(x)}{n^2+4}$
(il y a déjà un problème avec cette définition)

Ensuite, tu écris $\displaystyle \lim_n \sqrt[n]{|F_n(x)|} = \lim_n \frac{|\tan(x)|}{\sqrt[n]{n^2+4}}$. Donc, si j remplace $F_n(x)$ par l'expression que tu en donnes, cela revient à écrire :
$\displaystyle \lim_n \sqrt[n]{\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\tan^n(x)}{n^2+4}} = \lim_n \frac{|\tan(x)|}{\sqrt[n]{n^2+4}}$

Il y a un premier problème : dans le membre de gauche, l'indice $n$ est utilisé comme variable qu'on fait tendre vers l'infini (pour la limite) et également comme indice pour la somme. Si on règle ce problème en mettant un autre indice, cela donnerait

$\displaystyle \lim_n \sqrt[n]{\sum_{l=1}^{\infty}\frac{\tan^l(x)}{l^2+4}} = \lim_n \frac{|\tan(x)|}{\sqrt[n]{n^2+4}}$ qui est une affirmation non démontrée ($\displaystyle \lim_n \sqrt[n]{g(x)}=1$ quand $g(x) > 0$).

Juste pour couper les cheveux en quatre :
L'écriture $\displaystyle F_n(x) = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\tan^n(x)}{n^2+4}$ est incorrecte (le $n$ à gauche n'a rien à voir avec le $n$ à droite).
J'imagine que tu voulais écrire $\displaystyle F_n(x) = \sum_{j=1}^{n}\frac{\tan^j(x)}{j^2+4}$

d'autre part, l'égalité $\displaystyle \lim_n \sqrt[n]{|F_n(x)|} = \lim_n \frac{|\tan(x)|}{\sqrt[n]{n^2+4}}$ est fausse !

Oui, c'est juste!