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#1 10-03-2016 21:04:59
- tintin
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Calcul d'une transformée de Fourier
Bonjour,
soit la fonction
[tex]
f_{\epsilon}(x)= \dfrac{1}{\pi} \dfrac{\epsilon}{\epsilon^2 + x^2}, \epsilon >0.
[/tex]
La question est de calculer [tex]\widehat{f}[/tex]
On a:
[tex]
\widehat{f}(\xi)= \dfrac{1}{\pi} \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} \dfrac{\epsilon}{\epsilon^2 + x^2} e^{-i x \cdot \xi} dx.
[/tex]
j'ai essayé avec l'ipp, et j'obtiens:
[tex]
[\dfrac{-\epsilon}{i\xi (\epsilon^2 + x^2)} e^{-ix \cdot \xi}]_{-\infty}^{+\infty} + \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} \dfrac{2 \epsilon x}{i \xi (\epsilon^2+x^2)^2} e^{-i x \cdot \xi} dx
[/tex]
et après ca je suis perdue, on fait quoi please.
Dernière modification par tintin (10-03-2016 21:05:28)
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#7 10-03-2016 22:35:49
- tintin
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Re : Calcul d'une transformée de Fourier
Je suis perdue maintenant. Dans l'exemple avec la boule pourquoi on était sur [tex]\mathbb{R}^n[/tex] et pas sur [tex]\mathbb{R}[/tex], et dans cet exercice on est sur[tex] \mathbb{R}[/tex]?
Dernière modification par tintin (10-03-2016 22:43:44)
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#10 10-03-2016 23:33:16
- tintin
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Re : Calcul d'une transformée de Fourier
Pour la transformé de Fourier de [tex]exp(-\epsilon|x|)[/tex], on trouve [tex]\dfrac{2i_xi}{\epsilon^2+\xi^1}[/tex]
on remarque que
[tex]f_{\epsilon}(x)=\dfrac{\epsilon}{\pi} \dfrac{1}{2i\xi} F(e^{-\epsilon |x|})[/tex]
de là, comment déduire la transformée de Fourier de f? Merci beaucoup.
Dernière modification par tintin (10-03-2016 23:57:15)
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#12 11-03-2016 10:46:36
- tintin
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Re : Calcul d'une transformée de Fourier
Pour [tex]f \in S(\mathbb{R})[/tex] la formule d'inversion de Fourier dit que
[tex]
f(x)= \dfrac{1}{2\pi} \widehat{\widehat{f(-x)}}
[/tex]
dans l'exercice, on a trouvé que
[tex]
f(x)=\dfrac{\epsilon}{\pi} \dfrac{1}{2i\xi}(\widehat{e^{-\epsilon[x[}})
[/tex]
On déduit de la formule d'inversion de Fourier, que
[tex]
\widehat{\widehat{f}}(-x)= (2 \pi) f(x)
[/tex]
qui implique que
[tex]
\widehat{\widehat{f(x)}}= (2 \pi) f(-x).
[/tex]
et donc
[tex]
\widehat{f(x)}= \dfrac{\epsilon}{\pi} \dfrac{1}{2 i \xi} \widehat{\widehat{e^{-\epsilon|x|}}}= \dfrac{2 \pi \epsilon}{\pi} \dfrac{1}{2 i \xi} e^{-\epsilon|x|}
[/tex]
et donc
[tex]
\widehat{f}(x)= \dfrac{\epsilon}{i\xi} e^{-\epsilon|x|}
[/tex]
c'est ok?
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#14 12-03-2016 13:20:33
- tintin
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Re : Calcul d'une transformée de Fourier
Bonjour,
en reprenant l'exercice j'ai un doute. En calculant la transformée de Fourier de [tex]exp(-\epsilon |x|)[/tex] on trouve
[tex]
\dfrac{2 i \xi}{\epsilon^2 + \xi^2}
[/tex]
On ne peut pas dire que
[tex]
f(x)= \dfrac{\epsilon}{\pi} \dfrac{1}{2 i \xi} F(e^{-\epsilon |x|})
[/tex]
à droite ça dépend de[tex] \xi[/tex], à gauche ça dépend de [tex]x[/tex]. Ce n'est pas logique. Comment faire la relation entre les deux? Merci beaucoup.
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#15 12-03-2016 14:57:53
- Fred
- Administrateur
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- Messages : 7 352
Re : Calcul d'une transformée de Fourier
Je pense que tu devrais t'interroger là-dessus :
Pour la transformé de Fourier de [tex]exp(-\epsilon|x|)[/tex], on trouve [tex]\dfrac{2i_xi}{\epsilon^2+\xi^1}[/tex]
on remarque que
[tex]f_{\epsilon}(x)=\dfrac{\epsilon}{\pi} \dfrac{1}{2i\xi} F(e^{-\epsilon |x|})[/tex]
de là, comment déduire la transformée de Fourier de f? Merci beaucoup.
Où est x? où est [tex]\xi[/tex]?
Est-ce que ce n'est pas plutôt
[tex]f_\epsilon(\xi)=\dfrac{\epsilon}{\pi} \dfrac{1}{2i\xi} F(e^{-\epsilon |x|})(\xi)[/tex] qu'il faudrait écrire?
F.
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#17 12-03-2016 18:27:48
- Hinane
- Invité
Re : Calcul d'une transformée de Fourier
faute sur l la transformé de Fourier de exp(−ϵ|x|)
#19 12-03-2016 18:53:42
- tintin
- Membre
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- Messages : 56
Re : Calcul d'une transformée de Fourier
Ok, il reste une question s'il vous plaît: calculer[tex] \lim_{\epsilon \to 0} \widehat{f}_{\epsilon}(x[/tex]) et déduire[tex] \dfrac{1}{\pi} \lim_{\epsilon \to 0} \dfrac{\epsilon}{\epsilon^2+x^2}[/tex]
Aidez moi please.
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#21 13-03-2016 09:53:50
- Hinane
- Invité
Re : Calcul d'une transformée de Fourier
Je redis http://www.bibmath.net/forums/post.php? … &qid=56042
Tintin il faut refaire ton calcul sinon tu ne peux pas faire la suite
#22 13-03-2016 22:25:42
- tintin
- Membre
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Re : Calcul d'une transformée de Fourier
Je reprend, corrigez moi please.
on note [tex]g(x)=e^{-\epsilon |x|}[/tex]
[tex]
\widehat{d}(\xi)= \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-\epsilon |x|} e^{_i x \xi} dx = \dfrac{2 \epsilon}{\epsilon^2 + \xi}.
[/tex]
pour calculer la transformée de Fourier de
[tex]
f_{\epsilon}(x)=\dfrac{1}{\pi} \dfrac{\epsilon}{\epsilon^2 + x^2}, \epsilon > 0.
[/tex]
on remarque que
[tex]
f_{\epsilon}(x)=\dfrac{1}{2 \pi} \widehat{g}(x)
[/tex]
qui implique que
[tex]
\widehat{f_{\epsilon}}(x)=\dfrac{1}{2 \pi} \widehat{\widehat{g}}(x)
[/tex]
et comme
[tex]
\widehat{\widehat{g}}(x)=(2 \pi) g(-x)
[/tex]
alors
[tex]
\widehat{f_{\epsilon}}(x)= g(-x)= e^{-\epsilon |x|}
[/tex]
c'est ok?
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#23 13-03-2016 23:26:36
- Hinane
- Invité
Re : Calcul d'une transformée de Fourier
oui
#24 13-03-2016 23:52:34
- tintin
- Membre
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Re : Calcul d'une transformée de Fourier
Merci!
Dernière question: peux -tu me ré(expliquer comment on calcule la transformée de Fourier inverse de la fonction [tex]f(t)=e^{-\alpha t} H(t), \alpha \in \mathbb{N}[/tex]
Merci beaucoup.
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