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Merci!
Dernière question: peux -tu me ré(expliquer comment on calcule la transformée de Fourier inverse de la fonction [tex]f(t)=e^{-\alpha t} H(t), \alpha \in \mathbb{N}[/tex]
Merci beaucoup.

Je reprend, corrigez moi please.
on note [tex]g(x)=e^{-\epsilon |x|}[/tex]
[tex]
\widehat{d}(\xi)= \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-\epsilon |x|} e^{_i x \xi} dx = \dfrac{2 \epsilon}{\epsilon^2 + \xi}.
[/tex]
pour calculer la transformée de Fourier de
[tex]
f_{\epsilon}(x)=\dfrac{1}{\pi} \dfrac{\epsilon}{\epsilon^2 + x^2}, \epsilon > 0.
[/tex]
on remarque que
[tex]
f_{\epsilon}(x)=\dfrac{1}{2 \pi} \widehat{g}(x)
[/tex]
qui implique que
[tex]
\widehat{f_{\epsilon}}(x)=\dfrac{1}{2 \pi} \widehat{\widehat{g}}(x)
[/tex]
et comme
[tex]
\widehat{\widehat{g}}(x)=(2 \pi) g(-x)
[/tex]
alors
[tex]
\widehat{f_{\epsilon}}(x)= g(-x)= e^{-\epsilon |x|}
[/tex]

c'est ok?

Là je ne suis plus. Que vaut [tex]\hat f_\epsilon(x)?[/tex].
On te demande des limites avec quel sens???

Tu échanges les deux lettres????

oui voilà, c'est comme vous l'avez écrit. On a [tex]f_{\epsilon}(\xi)[/tex], mais ce qu'il nous faut, c'est [tex]\widehat{f}(x)[/tex]. Comment enchaîner et passer de [tex]\xi[/tex] à x?

Bonjour,
en reprenant l'exercice j'ai un doute. En calculant la transformée de Fourier de [tex]exp(-\epsilon |x|)[/tex] on trouve
[tex]
\dfrac{2 i \xi}{\epsilon^2 + \xi^2}
[/tex]
On ne peut pas dire que
[tex]
f(x)= \dfrac{\epsilon}{\pi} \dfrac{1}{2 i \xi} F(e^{-\epsilon |x|})
[/tex]
à droite ça dépend de[tex] \xi[/tex], à gauche ça dépend de [tex]x[/tex]. Ce n'est pas logique. Comment faire la relation entre les deux? Merci beaucoup.

Pour [tex]f \in S(\mathbb{R})[/tex] la formule d'inversion de Fourier dit que
[tex]
f(x)= \dfrac{1}{2\pi} \widehat{\widehat{f(-x)}}
[/tex]
dans l'exercice, on a trouvé que
[tex]
f(x)=\dfrac{\epsilon}{\pi} \dfrac{1}{2i\xi}(\widehat{e^{-\epsilon[x[}})
[/tex]
On déduit de la formule d'inversion de Fourier, que
[tex]
\widehat{\widehat{f}}(-x)= (2 \pi) f(x)
[/tex]
qui implique que
[tex]
\widehat{\widehat{f(x)}}= (2 \pi) f(-x).
[/tex]
et donc
[tex]
\widehat{f(x)}= \dfrac{\epsilon}{\pi} \dfrac{1}{2 i \xi} \widehat{\widehat{e^{-\epsilon|x|}}}= \dfrac{2 \pi \epsilon}{\pi} \dfrac{1}{2 i \xi} e^{-\epsilon|x|}
[/tex]
et donc
[tex]
\widehat{f}(x)= \dfrac{\epsilon}{i\xi} e^{-\epsilon|x|}
[/tex]

c'est ok?

Pour la transformé de Fourier de [tex]exp(-\epsilon|x|)[/tex], on trouve [tex]\dfrac{2i_xi}{\epsilon^2+\xi^1}[/tex]
on remarque que
[tex]f_{\epsilon}(x)=\dfrac{\epsilon}{\pi} \dfrac{1}{2i\xi} F(e^{-\epsilon |x|})[/tex]
de là, comment déduire la transformée de Fourier de f? Merci beaucoup.