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Mouhcine

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Application bijective

Bonsoir à tous, soit [tex]f: X \longrightarrow Y[/tex] une application continue bijective.
où [tex]X[/tex]  est un espace de Hilbert muni d'un produit scalaire [tex]\left< .,.\right>[/tex], et [tex]Y[/tex] un espace topologique (pour le moment).
Ma question, est ce que cette bijection [tex]f[/tex] transporte le produit scalaire de [tex]X[/tex] à [tex]Y[/tex].
Merci d'avance

Dernière modification par Mouhcine (12-03-2015 16:36:39)

Roro

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Re : Application bijective

Bonsoir Zakariyae,

Je ne vois pas trop comment tu pourrais transporter ne serait-ce qu'une propriété de linéarité si ta fonction f n'est pas elle-même linéaire ?

Roro.

Mouhcine

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Re : Application bijective

Bonne nuit Roro, Oui [tex]f[/tex] est une application linéaire.

Dernière modification par Mouhcine (13-03-2015 00:36:41)

Mouhcine

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Re : Application bijective

Bonjour, plus précisément:

[tex]f: X \longrightarrow Y[/tex]    une transformation (linéaire) continue injective.

où [tex]X[/tex]  est un espace de Hilbert muni d'un produit scalaire [tex]\left< .,.\right>[/tex], et [tex]Y[/tex] un espace de Fréchet muni de la topologie de la convergence compact.
Donc, l'application              [tex]f: X \longrightarrow imf[/tex]         devient une bijection continue.

Ma question,  est ce qu'on peut munir im[tex]f[/tex] (image de [tex] f[/tex]) du produit scalaire [tex]\left< .,.\right>[/tex] de [tex]X[/tex] ?

Merci d'avance

Dernière modification par Mouhcine (13-03-2015 11:27:57)

Mouhcine

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Re : Application bijective

Je crois que c'est oui, et j'ai commencé la vérification, et je ne sais pas est ce que ma démarche est juste !!!. voilà donc ce que j'ai fait:
Soit [tex](y_k)_k[/tex] une suite de cauchy sur im[tex]f[/tex], on a donc

[tex] \forall\varepsilon>0, \, \exists N\in N, \, \forall  p,q\geq N, \quad \,  u( y_{p}-y_{q} , y_{p}-y_{q} )<\varepsilon [/tex]

ceci implique que

[tex] \forall\varepsilon>0, \, \exists N\in N, \, \forall  p,q\geq N, [/tex]

[tex]\left< f^{-1}(y_{p}-y_{q}) , f^{-1}(y_{p}-y_{q}) \right> = \left< f^{-1}(y_{p})-f^{-1}(y_{q}), f^{-1}(y_{p})-f^{-1}(y_{q}) \right> <\varepsilon[/tex]

donc [tex](f^{-1}(y_k))_k[/tex] est une suite de cauchy sur [tex]X[/tex] qui est complet, donc elle converge vers un élément [tex]x\in X[/tex]
Puisque f est continue, [tex](y_k)_k[/tex] converge vers [tex]f(x)[/tex] dans im[tex]f[/tex].
Il s'ensuit que, muni du produit scalaire [tex]u(.,.)[/tex] im[tex]f[/tex] est un espace de Hilbert.

Merci d'avance

Fred

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Re : Application bijective

Bonjour,

  Je crois qu'effectivement Im f peut être muni d'un produit scalaire image du produit scalaire sur X par f.
Ce qui n'est pas clair, c'est la comparaison de la topologie initiale qu'il y a sur Im f avec la topologie donnée par ce produit scalaire.
Rien ne dit qu'elles sont identiques (autrement dit, que la norme initiale sur X et la norme issue du produit scalaire soient équivalentes).

F.

Mouhcine

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Re : Application bijective

Bonne nuit Fred, Vous avez dit donc que le produit scalaire sur im[tex]f[/tex] doit être

[tex]u(y,y^{'}):= \left< f(y) , f(y^{'}) \right>[/tex] [tex] \forall y,y^{'} \in[/tex]  im[tex]f[/tex]
Mais ce produit n'est pas  bilinéaire sauf si [tex]f[/tex] est une isométrie

Dernière modification par Mouhcine (14-03-2015 23:20:43)

Fred

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Re : Application bijective

Bonne nuit Fred, Vous avez dit donc que le produit scalaire sur im[tex]f[/tex] doit être

[tex]u(y,y^{'}):= \left< f(y) , f(y^{'}) \right>[/tex] [tex] \forall y,y^{'} \in[/tex]  im[tex]f[/tex]

Euh... Je n'ai jamais dit cela!
J'ai juste dit que je pensais qu'on pouvait munir Im f d'un produit scalaire hérité de celui sur X par f.
En plus, ta formule n'a pas de sens (il devrait y avoir au moins des [tex]f^{-1}[/tex] à la place des f.
Enfin, je crois que si tu définis [tex]u\big (f(x),f(y)\big)=\langle x,y\rangle [/tex], u est une forme bilinéaire symétrique sur Im f dès que f est linéaire et injective (sans qu'on ait même besoin que f soit continue - c'est un calcul purement algébrique).

Fred.

Mouhcine

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Re : Application bijective

Oui donc c'est presque le produit scalaire que j'ai défini,
car on travail par un élément [tex]x[/tex] de [tex]X[/tex] ou [tex]f^{-1}(y)[/tex] pour [tex]y[/tex] dans im[tex]f[/tex] c'est la même chose

Dernière modification par Mouhcine (14-03-2015 23:52:31)

Mouhcine

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Re : Application bijective

Bonsoir Fred, J'ai considéré  le produit [tex]u(.,.)[/tex] car j'ai vérifie que c'est un produit scalaire et voilà ce que j'ai fait:

Pour tout  [tex]y, y_{1},y_{2} \in Im f,[/tex] on pose [tex]u(y_{1},y_{2}) := \left< f^{-1}(y_{1}), f^{-1}(y_{2})\right>[/tex] 

1)  [tex]u(\alpha y_{1} +\beta y_{2},y) =  \left< f^{-1}(\alpha y_{2} +\beta y_{1}), f^{-1}(y)\right> = \alpha \left< f^{-1}(  y_{1}), f^{-1}(y)\right> + \beta \left< f^{-1}(  y_{2}), f^{-1}(y)\right>[/tex] même chose à droite;
2)  [tex]u(y,y) = \left< f^{-1}(y), f^{-1}(y)\right> \geq 0[/tex] par définition de [tex]\left< .,.\right>[/tex];
3)   [tex]u(y,y) = 0[/tex] alors  [tex]\left< f^{-1}(y), f^{-1}(y)\right> = 0[/tex] donc [tex]f^{-1}(y)=0[/tex]  ceci impliqua que [tex]y=0[/tex] toujours par la définition de [tex]\left< .,.\right>[/tex]

Merci d'avance

Fred

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Re : Application bijective

C'est un produit scalaire, pas de doute!

Mouhcine

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Re : Application bijective

Bonsoir Fred. donc on muni im[tex]f[/tex]  par le produit scalaire [tex]u(.,.)[/tex].
Est ce que ce que j'ai fait au-dessus est juste? (pour im[tex]f[/tex] est un hilbert)
Merci d'avance

Dernière modification par Mouhcine (15-03-2015 21:24:42)

Fred

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Re : Application bijective

Je ne suis pas d'accord avec la phrase "Puisque f est continue".

Pourquoi f serait continue quand Im f est muni de la norme issue du produit scalaire? f est continue quand Im f est muni de la topologie de départ.
Il faut une démonstration pour ce point!

Mouhcine

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Re : Application bijective

Ok, je vais voir. Merci encore Fred