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Mouhcine · 15-03-2015 22:10:40

Ok, je vais voir. Merci encore Fred

Fred · 15-03-2015 21:45:42

Je ne suis pas d'accord avec la phrase "Puisque f est continue".

Pourquoi f serait continue quand Im f est muni de la norme issue du produit scalaire? f est continue quand Im f est muni de la topologie de départ.
Il faut une démonstration pour ce point!

Mouhcine · 15-03-2015 21:23:13

Bonsoir Fred. donc on muni im[tex]f[/tex] par le produit scalaire [tex]u(.,.)[/tex].
Est ce que ce que j'ai fait au-dessus est juste? (pour im[tex]f[/tex] est un hilbert)
Merci d'avance

Fred · 15-03-2015 21:06:05

C'est un produit scalaire, pas de doute!

Mouhcine · 15-03-2015 17:09:10

Bonsoir Fred, J'ai considéré le produit [tex]u(.,.)[/tex] car j'ai vérifie que c'est un produit scalaire et voilà ce que j'ai fait:

Pour tout [tex]y, y_{1},y_{2} \in Im f,[/tex] on pose [tex]u(y_{1},y_{2}) := \left< f^{-1}(y_{1}), f^{-1}(y_{2})\right>[/tex]

1) [tex]u(\alpha y_{1} +\beta y_{2},y) = \left< f^{-1}(\alpha y_{2} +\beta y_{1}), f^{-1}(y)\right> = \alpha \left< f^{-1}( y_{1}), f^{-1}(y)\right> + \beta \left< f^{-1}( y_{2}), f^{-1}(y)\right>[/tex] même chose à droite;
2) [tex]u(y,y) = \left< f^{-1}(y), f^{-1}(y)\right> \geq 0[/tex] par définition de [tex]\left< .,.\right>[/tex];
3) [tex]u(y,y) = 0[/tex] alors [tex]\left< f^{-1}(y), f^{-1}(y)\right> = 0[/tex] donc [tex]f^{-1}(y)=0[/tex] ceci impliqua que [tex]y=0[/tex] toujours par la définition de [tex]\left< .,.\right>[/tex]

Merci d'avance

Mouhcine · 14-03-2015 23:48:49

Oui donc c'est presque le produit scalaire que j'ai défini,
car on travail par un élément [tex]x[/tex] de [tex]X[/tex] ou [tex]f^{-1}(y)[/tex] pour [tex]y[/tex] dans im[tex]f[/tex] c'est la même chose

Fred · 14-03-2015 23:44:15

Zakariyae a écrit :

Bonne nuit Fred, Vous avez dit donc que le produit scalaire sur im[tex]f[/tex] doit être
[tex]u(y,y^{'}):= \left< f(y) , f(y^{'}) \right>[/tex] [tex] \forall y,y^{'} \in[/tex] im[tex]f[/tex]

Euh... Je n'ai jamais dit cela!
J'ai juste dit que je pensais qu'on pouvait munir Im f d'un produit scalaire hérité de celui sur X par f.
En plus, ta formule n'a pas de sens (il devrait y avoir au moins des [tex]f^{-1}[/tex] à la place des f.
Enfin, je crois que si tu définis [tex]u\big (f(x),f(y)\big)=\langle x,y\rangle [/tex], u est une forme bilinéaire symétrique sur Im f dès que f est linéaire et injective (sans qu'on ait même besoin que f soit continue - c'est un calcul purement algébrique).

Fred.

Mouhcine · 14-03-2015 23:19:33

Bonne nuit Fred, Vous avez dit donc que le produit scalaire sur im[tex]f[/tex] doit être

[tex]u(y,y^{'}):= \left< f(y) , f(y^{'}) \right>[/tex] [tex] \forall y,y^{'} \in[/tex] im[tex]f[/tex]
Mais ce produit n'est pas bilinéaire sauf si [tex]f[/tex] est une isométrie

Fred · 14-03-2015 23:08:09

Bonjour,

Je crois qu'effectivement Im f peut être muni d'un produit scalaire image du produit scalaire sur X par f.
Ce qui n'est pas clair, c'est la comparaison de la topologie initiale qu'il y a sur Im f avec la topologie donnée par ce produit scalaire.
Rien ne dit qu'elles sont identiques (autrement dit, que la norme initiale sur X et la norme issue du produit scalaire soient équivalentes).

F.

Mouhcine · 14-03-2015 20:19:51

Je crois que c'est oui, et j'ai commencé la vérification, et je ne sais pas est ce que ma démarche est juste !!!. voilà donc ce que j'ai fait:
Soit [tex](y_k)_k[/tex] une suite de cauchy sur im[tex]f[/tex], on a donc

[tex] \forall\varepsilon>0, \, \exists N\in N, \, \forall p,q\geq N, \quad \, u( y_{p}-y_{q} , y_{p}-y_{q} )<\varepsilon [/tex]

ceci implique que

[tex] \forall\varepsilon>0, \, \exists N\in N, \, \forall p,q\geq N, [/tex]

[tex]\left< f^{-1}(y_{p}-y_{q}) , f^{-1}(y_{p}-y_{q}) \right> = \left< f^{-1}(y_{p})-f^{-1}(y_{q}), f^{-1}(y_{p})-f^{-1}(y_{q}) \right> <\varepsilon[/tex]

donc [tex](f^{-1}(y_k))_k[/tex] est une suite de cauchy sur [tex]X[/tex] qui est complet, donc elle converge vers un élément [tex]x\in X[/tex]
Puisque f est continue, [tex](y_k)_k[/tex] converge vers [tex]f(x)[/tex] dans im[tex]f[/tex].
Il s'ensuit que, muni du produit scalaire [tex]u(.,.)[/tex] im[tex]f[/tex] est un espace de Hilbert.

Merci d'avance

Mouhcine · 13-03-2015 11:27:18

Bonjour, plus précisément:

[tex]f: X \longrightarrow Y[/tex] une transformation (linéaire) continue injective.

où [tex]X[/tex] est un espace de Hilbert muni d'un produit scalaire [tex]\left< .,.\right>[/tex], et [tex]Y[/tex] un espace de Fréchet muni de la topologie de la convergence compact.
Donc, l'application [tex]f: X \longrightarrow imf[/tex] devient une bijection continue.

Ma question, est ce qu'on peut munir im[tex]f[/tex] (image de [tex] f[/tex]) du produit scalaire [tex]\left< .,.\right>[/tex] de [tex]X[/tex] ?

Merci d'avance

Mouhcine · 13-03-2015 00:28:10

Bonne nuit Roro, Oui [tex]f[/tex] est une application linéaire.

Roro · 12-03-2015 20:42:52

Bonsoir Zakariyae,

Je ne vois pas trop comment tu pourrais transporter ne serait-ce qu'une propriété de linéarité si ta fonction f n'est pas elle-même linéaire ?

Roro.

Mouhcine · 12-03-2015 16:17:41

Bonsoir à tous, soit [tex]f: X \longrightarrow Y[/tex] une application continue bijective.
où [tex]X[/tex] est un espace de Hilbert muni d'un produit scalaire [tex]\left< .,.\right>[/tex], et [tex]Y[/tex] un espace topologique (pour le moment).
Ma question, est ce que cette bijection [tex]f[/tex] transporte le produit scalaire de [tex]X[/tex] à [tex]Y[/tex].
Merci d'avance

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