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mona123

Invité

espace de hilbert

bonjour pouvez vous s'il vous plait m'aider a demontre ce resultat
Soit H un espace de Hilbert. Soit E une base ( ie un ensemble orthonormé maximale) pour H.
Vérifier que E a un nombre fini d'éléments si et seulement si 0 (le vecteur zéro dans H) a un
voisinage compact. (Dire que 0 a un voisinage compact signifie  0 est un point intérieur
d'un ensemble compact K ⊂ H.)
merci en avance

Fred

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Re : espace de hilbert

Salut,

  Tout dépend de ce que tu sais. Le plus facile est de dire qu'un espace vectoriel normé est de dimension finie
si et seulement si sa boule unité fermée est compacte.
Tu trouveras une démonstration de ceci, sous forme d'exercice, sur cette feuille d'exercice (exercice 29).

Fred.

mona123

Invité

Re : espace de hilbert

bonjour Fred .merci pour votre aide .pouvez vous me dire si je peut rédiger la réponse comme suit :
Soit H un espace de Hilbert. Soit E une base ( ie un ensemble orthonormé maximale) pour H
E a un nombre fini d'éléments si et seulement si H est un espace vectoriel normé est de dimension finie
et
0 a un
voisinage compact. (Dire que 0 a un voisinage compact signifie  0 est un point intérieur
d'un ensemble compact K ⊂ H.)si et seulement si  il existe un compact K c H et   il existe r≻0 telque B(0,r)c K  si et seulement si  il existe un compact K c H et   il existe r≻0 telque B'(0,r)c K si et seulement si il existe  r≻0 telque B'(0,r) est un compact si et seulement si  la  boule unité fermée de H est compacte.
doc pour montrer que
E a un nombre fini d'éléments si et seulement si 0 (le vecteur zéro dans H) a un
voisinage compact. (Dire que 0 a un voisinage compact signifie  0 est un point intérieur
d'un ensemble compact K ⊂ H.)
il suffit de prouver l'equivalence suivante
H est un espace vectoriel normé est de dimension finie
si et seulement si sa boule unité fermée est compacte.
merci

Fred

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Re : espace de hilbert

Oui, je crois que tu peux le rédiger ainsi.