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mona123

Invité

equation differentielle

bonjour pouvez vous s'il vous plait m'aider a resoudre ce probleme:
Soit u une solution au problème de valeur initiale

U_TT - u_xx = 0 dans  R ×(0, ∞),
u = g, h = u_t en R × {t = 0}.
Pour une position donnée initiale g (x) trouver tous les (le cas échéant) les vitesses initiales h (x) de telle sorte que la solution du problème ci-dessus
aura une forme
u (x, t) = V (x - t)

j'ai essayer avec l'exercice et tout ce que je sait est que grace a  la formule de d'Alembert ,la solution est donnée par
u(x,t) = 1/2(g(x + t) + g(x − t))+1/2( ∫x-t x+t h(τ ) dτ )
Si la solution est de la forme , alors vous avez deux expressions pour  : l'une donnée par la condition initiale, l'autre donnée par cette forme de solution. Cela indique que la fonction V(x)= g(x) pour tout x dans R
mais je n'arrive pas continer

mais je ne sais pas repondre a la question demandée.pouvez vous m'aider.merci.

Dernière modification par yoshi (26-01-2015 12:58:47)

mona123

Invité

Re : equation differentielle

Bonjour,

voici ma derniere reponce pour la question posée :

toute fonction sous la forme u(x,t)=v(x-t) verifie l'equation differentielle utt-uxx=0
car u_tt(x,t)= v''(x-t)
et u_xx(x,t)=v''(x-t)
deteminons h telque u(x,t)=v(x-t) est solution de l'equation differentielle avec donnée initial
on a u(x,0)=g(x)
et u(x,t)= v(x-t)
implique v(x)=g(x) pour tout x dans R
d'autre part ona u_t(x,0)=-v'(x)=h(x) pour tout x dans R
conclusion h(x)=-g'(x) pour tout x dans R.

Pouvez vous me corriger ma reponse ?

merci en avance

Roro

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Re : equation differentielle

Bonsoir mona123,

Je suis d'accord avec ta conclusion (et ta démonstration).

Roro.