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Raoul722

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Critère d'Euler et symbôle de Legendre

Bonsoir,

Je vous écris parce que je bloque sur quelques questions d'un exercice qui est le suivant :

Soit [tex]n[/tex] un entier premier impair et [tex]b[/tex] un entier tel que [tex]b \wedge n = 1[/tex]. Alors : [tex](\frac{b}{n}) \equiv b^{(n-1)/2} \mod n[/tex]. (*)

1. Si [tex]n[/tex] est divisible par le carré d'un entier premier p, montrer comment trouver un entier b premier à n tel que [tex] b \wedge n = 1[/tex] et [tex]b^{(n-1)/2} \not \equiv \pm 1\mod n[/tex].
2. Si [tex]n = pq[/tex] avec [tex] p[/tex] et [tex]q[/tex] premiers distincts et [tex]b[/tex] un entier tel que [tex](\frac{b}{p}) = -1[/tex] et [tex]b \equiv 1 \mod q[/tex]. Montrer que la relation (*) est fausse pour un tel [tex] b[/tex]. Montrer qu'un tel [tex]b[/tex] existe toujours.

Pour la première question, on a [tex]n = kp^2[/tex] et on cherche [tex]b[/tex] tel que [tex]b \wedge n = 1[/tex] donc [tex]b \wedge k = 1[/tex] et [tex]b \wedge p = 1[/tex]. Hors je ne vois pas comment procéder pour avoir [tex]b^{(n-1)/2} \not \equiv \pm 1\mod n[/tex] ?
En ce qui concerne la deuxième question, j'en déduis que [tex](\frac{b}{n}) = -1[/tex] car [tex](\frac{b}{p}) = -1[/tex] et [tex](\frac{b}{q}) = 1[/tex] ([tex]b \equiv 1 \mod q[/tex]). Mais comment montrer que [tex]b^{(n-1)/2} \not \equiv -1 \mod n[/tex] ?

En vous remerciant par avance pour vos explications :)

Dernière modification par Raoul722 (08-12-2014 22:40:06)