Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Joker

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Sortir de la zone

Bonsoir !

Pour une première participation dans la catégorie énigme, je ne crois pas avoir trouvé l'énoncé suivant en faisant une recherche :

Dans un plan, on considère une forme quelconque finie. Le joueur A (modélisé par un point dans la forme) veut en sortir, le joueur B veut l'en empêcher.

À chaque tour de jeu :
1) le joueur A choisit une direction
2) puis le joueur B choisit le sens sur cette direction
3) puis le joueur A se déplace d'une unité dans la direction donnée.

La question : existe-t-il une stratégie gagnante pour l'un des joueurs ?

P.S. : Pour les tatillons, on peut considérer que le joueur A est suffisamment loin du bord pour ne pas l'atteindre en un seul déplacement.

Jok'

jpp

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Re : Sortir de la zone

salut.

▼une intuition

A  se trouve en un lieu quelconque dans la parcelle de forme quelconque . on peut tracer une droite (D)  passant par A , telle que A sera le milieu du segment [CD]  ,C & D étant les 2 points d'intersection de la droite avec le contour de la parcelle  . Après  B impose le sens . A  renouvelle le même processus tout en se rapprochant de la périphérie de la forme en question. Il arrivera un moment ou A se trouvera à une distance inférieure à l'unité pour sortir de la zône

                                                                             à plus.

Joker

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Re : Sortir de la zone

▼une intuition

A  se trouve en un lieu quelconque dans la parcelle de forme quelconque . on peut tracer une droite (D)  passant par A , telle que A sera le milieu du segment [CD]  ,C & D étant les 2 points d'intersection de la droite avec le contour de la parcelle  . Après  B impose le sens . A  renouvelle le même processus tout en se rapprochant de la périphérie de la forme en question. Il arrivera un moment ou A se trouvera à une distance inférieure à l'unité pour sortir de la zône

                                                                             à plus.

▼une précision

C'est une bonne intuition, mais je ne vois pas dans quelle direction tu traces ta droite (D). Peux-tu être plus précis ?

Roro

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Re : Sortir de la zone

Salut,

@ jpp : qu'est ce qui prouve qu'avec ton processus, A se rapproche du bord (sur un coup, on peut trouver des exemples où A s'éloigne du bord) ?

Roro.

freddy

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Re : Sortir de la zone

Salut,

le problème avec jpp est qu'il donne rarement la démonstration de son intuition ... Je n'ai toujours pas compris pourquoi !

Boody

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Re : Sortir de la zone

Bonjour,

▼une idée pour le joueur A

il choisit la direction perpendiculaire à la droite passant par le point initial et le point actuel.

Quelque soit le sens choisit par B, la distance au point initial (d) augmente de rac(d²+1)-d et la forme est finie (donc il y a une distance max qu'il suffit de dépasser).

Edit pour 1ère utilisation de LaTeX : la distance augmente de [tex]\sqrt{d^2+1}-d[/tex]

Dernière modification par Boody (23-07-2014 15:49:02)

Roro

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Re : Sortir de la zone

Re,

Je suis d'accord avec Boody !

Roro.

Boody

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Re : Sortir de la zone

En fait j'avais trouvé une idée pour démontrer que B gagnait à tous les coups, et en voulant la détailler je suis "tombé" sur cette idée qui prouve justement le contraire.

J'ai juste démonté ma première idée au lieu de la démontrer.

:)

Joker

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Re : Sortir de la zone

@ Boody : Bravo, c'est exactement l'idée :

▼stratégie joueur A

En considérant que le point de départ est le centre de notre repère et en prenant toujours la direction tangente au vecteur position, on passe d'une distance [tex]D[/tex] à [tex]\sqrt{D^2 + p^2}[/tex] où p est la longueur du pas.

Si on s'intéresse à la suite, avec cette stratégie, à l'itération n on sera à la distance [tex]p \sqrt{n}[/tex] de notre point de départ. On sait même le temps maximal pour sortir si on connait la taille de la forme :-)

Le joueur A a donc une stratégie gagnante (donc le joueur B n'en a pas).