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Cazablanca

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Série harmonique et divergence

Bonjour,

Soit [tex]H_n = \sum_{i=1}^{n}[/tex] la série harmonique.
On note [tex]\frac{u_n}{v_n}[/tex] l'écriture sous forme de fraction irréductible de celle-ci.
J'aimerais démontrer que les suites [tex](u_n)_{n\in\mathbb{N}}[/tex] et [tex](v_n)_{n\in\mathbb{N}}[/tex] tendent vers [tex]+\infty[/tex]

Comme [tex](u_n)[/tex] et [tex](v_n)[/tex] ne sont pas croissantes, les seules méthodes auxquelles j'ai pensé sont le raisonnement par l'absurde ou le théorème des gendarmes. Par l'absurde ça me paraît bien compliqué, tandis que pour le théorème des gendarmes, j'ai pensé à minorer la suite [tex](v_n)[/tex] par n, mais je ne sais pas comment le prouver dans le cas où n n'est pas premier.
Pour la suite u, on remarque qu'elle majore la suite v donc on peut faire les gendarmes une fois qu'on a démontré la divergence pour v.

Voilà, si quelqu'un pourrait m'aider ce serait sympa (si vous avez une autre méthode que l'absurde ou les gendarmes ça me va aussi hein !)
Merci d'avance.

freddy

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Re : Série harmonique et divergence

Salut,

je ne comprends pas bien : [tex](u_n)[/tex] et [tex](v_n)[/tex] ne seraient pas croissantes ?

Cazablanc

Invité

Re : Série harmonique et divergence

Non, car si le dénominateur se simplifie avec le numérateur, [tex](u_n)[/tex] et [tex](v_n)[/tex] vont diminuer, par exemple pour les premier termes de la suite [tex](v_n)[/tex] on a :
[tex]v_1=1
v_2=2
...
v_5=60
v_6=20
v_7=140[/tex]

freddy

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Re : Série harmonique et divergence

Re,

une piste dans ce théorème ?

Fred

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Re : Série harmonique et divergence

Salut,

  Je crois que c'est possible à partir de ce que je signalais récemment dans ce post : http://www.bibmath.net/forums/viewtopic.php?id=6351

Une remarque d'abord : puisque la série est divergente, il suffit de prouver que [tex](v_n)[/tex] tend vers l'infini.

Dans le post que je mentionne ci-dessus, je donne une preuve que [tex](v_n)[/tex] est toujours divisible par 2, à partir de n=2.
Je ne crois pas que 2 soit important, et on pourrait très bien le remplacer par n'importe quel entier p premier. Ainsi, on doit pouvoir à partir de la même preuve prouver que [tex](v_n)[/tex] est divisible par p à partir de n=p. Donc cette suite tend vers l'infini.

Fred.