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ymagnyma

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enveloppe d'une famille de droites

Bonjour.
Le problème est le suivant : soit une ellipse (E) d'équation [tex]\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1[/tex]. On note O son centre.
A un point de (E). B sur (E) tel que AOB rectangle en O.
On s'intéresse à l'enveloppe formée par les droites (AB) quand A décrit (E).

Cette enveloppe est le cercle de centre O et de rayon R tel que [tex]R^2=frac{a^2 b^2}{a^2+b^2}[/tex].

J'ai visualisé le problème sur Geogebra, et en effet, le résultat est vrai.

En notant H le pied de la hauteur issue de O dans AOB, il suffit de prouver que OH est constant, égal à R).

J'ai donc cherché à déterminer les coordonnées de H et cherché à vérifier que [tex]x_H ^2 + y_H ^2 = R^2[/tex].
Mais je n'ai pas abouti.

J'ai vu qu'il existait une méthode consistant à dériver l'équation de la droite (AB), mais pour ça, il me faut un seul paramètre.
J'ai donc cherché en paramétrique. Et là je coince sur les coordonnées de B.

Voilà où j'en suis avec les notations suivantes :
[tex]A(x_A ; y_A)[/tex] ,[tex] B(x_B ; y_B)[/tex] , [tex]x_A = a cos(t_A)[/tex] , [tex]y_A = b sin(t_A)[/tex] , [tex]x_B = a cos(t_B)[/tex] , [tex]y_A = b sin(t_B)[/tex],
[tex]\Delta_x = x_B-x_A[/tex] ; [tex]\Delta_y = y_B-y_A[/tex] ; [tex]C_A = \Delta_y x_A - \Delta_x y_A[/tex]
[tex](AB) : \Delta_y x - \Delta_x y = C_A[/tex]
[tex](d) : \Delta_x x + \Delta_y y =0[/tex], (perpendiculaire à (AB) passant par O.

Ainsi, [tex]x_H = \frac{\Delta_y C_A}{\Delta_x ^2 + \Delta_y ^2}[/tex] et [tex]y_H=\frac{- \Delta_x C_A}{\Delta_x ^2 + \Delta_y ^2}[/tex]

D'où [tex]OH^2 = \frac{C_A ^2}{\Delta_x ^2 + \Delta_y ^2}[/tex]

Le calcul de [tex]C_A ^2[/tex] me donne [tex]C_A ^2 = a^2 b^2 sin^2 (t_B-t_A)[/tex].
Celui de [tex]\Delta_x ^2 + \Delta_y ^2[/tex] me donne, par exemple, [tex]\Delta_x ^2 + \Delta_y ^2 = \frac{a^2 + b^2}{a^2 b^2} (y_A ^2 OB^2 + y_B ^2 OA^2)[/tex] ...

Il faudrait que j'arrive à écrire [tex]t_B[/tex] en fonction de [tex]t_A[/tex]. J'ai essayé en passant par le cercle principal de centre O et de rayon a, mais je coince aussi.

Il faudrait que je trouve une relation entre B'' et B, où B'' est le point d'intersection de la demi-droite [OB) et du cercle principal.

Si quelqu'un peut m'aiguiller, merci.

Je tente de poster une figure ...

Dernière modification par ymagnyma (06-09-2013 22:22:46)

ymagnyma

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Re : enveloppe d'une famille de droites

[tex]t_A= \widehat{IOA'}[/tex], et [tex]t_B= \widehat{IOB'}[/tex].

Dernière modification par ymagnyma (06-10-2013 13:46:33)

totomm

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Re : enveloppe d'une famille de droites

Bonjour,

Pour ce problème je ferais un changement d'axes en les tournant de l'angle [tex]\theta\ tel \ que\ tan(\theta)=\frac{y_A}{x_A}[/tex]
Cela introduit des cos et des sin dans l'équation de l'ellipse mais A a une ordonnée nulle, B une  abscisse nulle et
la distance du centre à la droite (AB) se calcule bien...(dans mes souvenirs, je n'ai pas refait encore ...!)

ymagnyma

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Re : enveloppe d'une famille de droites

Bonjour Totomm. Simplement, le point A est amener à décrire l'ellipse, j'ai donc l'impression que tu me proposes de faire le calcul comme si A était en I, et là, en effet, quand A est un des "sommets" de l'ellipse, (je ne suis pas sûr qu'on dise sommets), bref en (a,0) ; (0,b) ; (-a,0) et (-b,0), ça marche très bien car alors, [tex]t_B=t_A+\frac{\pi}{2}[/tex].

Je crains que ce ne soit plus compliqué, du fait que A est mobile. Non ?

totomm

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Re : enveloppe d'une famille de droites

Re,

Mais non, si on fait tourner l'ellipse et si le point A reste en [tex]X_0[/tex] sur un axe (OX) et B  en [tex]Y_0[/tex] sur un axe orthogonal (OY), c'est la même chose que faire parcourir l'ellipse fixe par A dont les coordonnées sont[tex] (x_A;y_A)\ et \ tan\theta=\frac{y_A}{x_A}[/tex]

l'équation de l'ellipse devient [tex]\frac{(xcos\theta-ysin\theta)^2}{a^2}+\frac{(xsin\theta+ycos\theta)^2}{b^2}=1[/tex] et
[tex]\frac{1}{X_0^2}=\frac{(a^2sin^2\theta+b^2cos^2\theta)}{a^2b^2}[/tex]
[tex]\frac{1}{Y_0^2}=\frac{(a^2cos^2\theta+b^2sin^2\theta)}{a^2b^2}[/tex]

La droite (AB) a pour équation [tex]\frac{x}{X_0}+\frac{y}{Y_0}-1=0[/tex]
et la distance de O à la droite (AB) est [tex]\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{X_0^2}+\frac{1}{Y_0^2}}}[/tex] donc C.Q.F.D tout simplement

ymagnyma

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Re : enveloppe d'une famille de droites

!
Ben mince alors, tu fixes A et donc B, et c'est l'ellipse qui bouge.
C'est un sacré changement de point de vu !

C'est une très belle idée, je n'ai plus qu'à comprendre que les deux points de vu sont équivalents, mais c'est beau ! Je suis sur le c. ... (Pardon, ..., l'émotion).

Merci pour ce point de vue.

ymagnyma

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Re : enveloppe d'une famille de droites

En fait, si j'ai bien compris, tu as montré que pour tout point A de l'ellipse, on peut déterminer une équation de l'ellipse d'axes (OA) et (OB) contenue dans le même cercle principal. Dès lors, le triangle OAB reste fixe, donc OH, distance de O à (AB) aussi. Et cette distance calculable. On pourrait même alors se placer dans un des cas simples où A est un sommet.

L'idée me plait, tes calculs aussi, mais quand je trace l'ellipse, j'obtiens ça :

(OA) et (OB) ne sont pas les axes de la nouvelle ellipse, mais est-ce bien gênant ? L'intérêt du [tex]\theta[/tex] n'est-il pas d'attraper B ? et donc d'obtenir ce que tu as obtenu ?

totomm

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Re : enveloppe d'une famille de droites

re,

Changer de repère est très commun...Mais les points A et B sur les nouveaux axes NE SONT PAS sur les axes de l'ellipse puisqu'elle tourne par rapport à ces nouveaux axes. Attention, A et B ne sont pas fixes sur les nouveaux axes, abscisse et ordonnée changent en fonction de [tex]\theta[/tex] ce sont a et b, paramètres de l'ellipse, qui sont fixes.

C'est en mécanique (rationnelle) qu'on a le plus l'habitude de changer éventuellement de repère.

oui, cette démonstration est époustouflante de simplicité.
mais je n'ai aucun mérite, si ce n'est une grande pratique des coniques il y a déjà 60 ans

Dernière modification par totomm (07-09-2013 14:29:29)

totomm

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Re : enveloppe d'une famille de droites

Bonjour,

Il faudrait que je trouve une relation entre B'' et B, où B'' est le point d'intersection de la demi-droite [OB) et du cercle principal.

Je n'ai pas répondu directement à cette question :
Placer un point M de même abscisse que B" et d'ordonnée = ordonnée(B")*a/b détermine une droite OM sur laquelle se trouvera B' d'où B par réduction habituelle de b/a.