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Bonjour,

Je n'ai pas répondu directement à cette question :
Placer un point M de même abscisse que B" et d'ordonnée = ordonnée(B")*a/b détermine une droite OM sur laquelle se trouvera B' d'où B par réduction habituelle de b/a.

En fait, si j'ai bien compris, tu as montré que pour tout point A de l'ellipse, on peut déterminer une équation de l'ellipse d'axes (OA) et (OB) contenue dans le même cercle principal. Dès lors, le triangle OAB reste fixe, donc OH, distance de O à (AB) aussi. Et cette distance calculable. On pourrait même alors se placer dans un des cas simples où A est un sommet.

L'idée me plait, tes calculs aussi, mais quand je trace l'ellipse, j'obtiens ça :

(OA) et (OB) ne sont pas les axes de la nouvelle ellipse, mais est-ce bien gênant ? L'intérêt du [tex]\theta[/tex] n'est-il pas d'attraper B ? et donc d'obtenir ce que tu as obtenu ?

Re,

Mais non, si on fait tourner l'ellipse et si le point A reste en [tex]X_0[/tex] sur un axe (OX) et B  en [tex]Y_0[/tex] sur un axe orthogonal (OY), c'est la même chose que faire parcourir l'ellipse fixe par A dont les coordonnées sont[tex] (x_A;y_A)\ et \ tan\theta=\frac{y_A}{x_A}[/tex]

l'équation de l'ellipse devient [tex]\frac{(xcos\theta-ysin\theta)^2}{a^2}+\frac{(xsin\theta+ycos\theta)^2}{b^2}=1[/tex] et
[tex]\frac{1}{X_0^2}=\frac{(a^2sin^2\theta+b^2cos^2\theta)}{a^2b^2}[/tex]
[tex]\frac{1}{Y_0^2}=\frac{(a^2cos^2\theta+b^2sin^2\theta)}{a^2b^2}[/tex]

La droite (AB) a pour équation [tex]\frac{x}{X_0}+\frac{y}{Y_0}-1=0[/tex]
et la distance de O à la droite (AB) est [tex]\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{X_0^2}+\frac{1}{Y_0^2}}}[/tex] donc C.Q.F.D tout simplement

Bonjour,

Pour ce problème je ferais un changement d'axes en les tournant de l'angle [tex]\theta\ tel \ que\ tan(\theta)=\frac{y_A}{x_A}[/tex]
Cela introduit des cos et des sin dans l'équation de l'ellipse mais A a une ordonnée nulle, B une  abscisse nulle et
la distance du centre à la droite (AB) se calcule bien...(dans mes souvenirs, je n'ai pas refait encore ...!)

Bonjour.
Le problème est le suivant : soit une ellipse (E) d'équation [tex]\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1[/tex]. On note O son centre.
A un point de (E). B sur (E) tel que AOB rectangle en O.
On s'intéresse à l'enveloppe formée par les droites (AB) quand A décrit (E).

Cette enveloppe est le cercle de centre O et de rayon R tel que [tex]R^2=frac{a^2 b^2}{a^2+b^2}[/tex].

J'ai visualisé le problème sur Geogebra, et en effet, le résultat est vrai.

En notant H le pied de la hauteur issue de O dans AOB, il suffit de prouver que OH est constant, égal à R).

J'ai donc cherché à déterminer les coordonnées de H et cherché à vérifier que [tex]x_H ^2 + y_H ^2 = R^2[/tex].
Mais je n'ai pas abouti.

J'ai vu qu'il existait une méthode consistant à dériver l'équation de la droite (AB), mais pour ça, il me faut un seul paramètre.
J'ai donc cherché en paramétrique. Et là je coince sur les coordonnées de B.

Voilà où j'en suis avec les notations suivantes :
[tex]A(x_A ; y_A)[/tex] ,[tex] B(x_B ; y_B)[/tex] , [tex]x_A = a cos(t_A)[/tex] , [tex]y_A = b sin(t_A)[/tex] , [tex]x_B = a cos(t_B)[/tex] , [tex]y_A = b sin(t_B)[/tex],
[tex]\Delta_x = x_B-x_A[/tex] ; [tex]\Delta_y = y_B-y_A[/tex] ; [tex]C_A = \Delta_y x_A - \Delta_x y_A[/tex]
[tex](AB) : \Delta_y x - \Delta_x y = C_A[/tex]
[tex](d) : \Delta_x x + \Delta_y y =0[/tex], (perpendiculaire à (AB) passant par O.

Ainsi, [tex]x_H = \frac{\Delta_y C_A}{\Delta_x ^2 + \Delta_y ^2}[/tex] et [tex]y_H=\frac{- \Delta_x C_A}{\Delta_x ^2 + \Delta_y ^2}[/tex]

D'où [tex]OH^2 = \frac{C_A ^2}{\Delta_x ^2 + \Delta_y ^2}[/tex]

Le calcul de [tex]C_A ^2[/tex] me donne [tex]C_A ^2 = a^2 b^2 sin^2 (t_B-t_A)[/tex].
Celui de [tex]\Delta_x ^2 + \Delta_y ^2[/tex] me donne, par exemple, [tex]\Delta_x ^2 + \Delta_y ^2 = \frac{a^2 + b^2}{a^2 b^2} (y_A ^2 OB^2 + y_B ^2 OA^2)[/tex] ...

Il faudrait que j'arrive à écrire [tex]t_B[/tex] en fonction de [tex]t_A[/tex]. J'ai essayé en passant par le cercle principal de centre O et de rayon a, mais je coince aussi.

Il faudrait que je trouve une relation entre B'' et B, où B'' est le point d'intersection de la demi-droite [OB) et du cercle principal.

Si quelqu'un peut m'aiguiller, merci.

Je tente de poster une figure ...