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Niryub

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Décompositon de Gauss - Formes quadratiques -

Bonjour,

J'ai un petit problème avec la décomposition de Gauss pour les formes quadratiques. En effet, il existe plusieurs décomposition de Gauss pour une même forme quadratique. Dès lors, comment s'assurer que l'on ait LA décomposition de Gauss qui fait apparaître les valeurs propres devant les formes linéaires au carré. Le théorème, nous dit qu'il faut que les formes linéaires soient indépendantes, existe-t-il une technique générale pour assurer leurs indépendance ?

Dernière modification par Niryub (17-05-2012 15:18:59)

Niryub

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Re : Décompositon de Gauss - Formes quadratiques -

J'ai même trouvé un exemple ou les deux décompositions présentent des formes linéaires indépendantes :

[tex]q\left(x\right)={{x}^{2}}_{1}+\left(1+a\right){{x}^{2}}_{2}+\left(1+a+{a}^{2}\right){{x}^{2}}_{3}+2{x}_{1}{x}_{2}-2a{x}_{2}{x}_{3}[/tex]

1ère décomposition qui suit la démonstration du théorème :

[tex]q\left(x\right)={\left({x}_{1}+{x}_{2}\right)}^{2}+\left(1+a+{a}^{2}\right){\left({x}_{3}-\frac{a{x}_{2}}{1+a+{a}^{2}}\right)}^{2}+a{{x}^{2}}_{2}\left(\frac{1+{a}^{2}}{1+a+{a}^{2}}\right)[/tex]

2ème décomposition :  [tex]q\left(x\right)={\left({x}_{1}+{x}_{2}\right)}^{2}+a{\left({x}_{2}-{x}_{3}\right)}^{2}+\left(1+{a}^{2}\right){{x}^{2}}_{3}[/tex]

Pour une forme quadratique il y aurait non unicité de la matrice diagonale à la différence des endomorphisme ?

Dernière modification par Niryub (17-05-2012 17:36:52)

Fred

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Re : Décompositon de Gauss - Formes quadratiques -

Salut,

  Si tu veux plus que la signature, tu ne peux pas te contente de la décomposition de Gauss.
Tu dois effectivement réduire la matrice de ta forme quadratique, en cherchant ses valeurs propres, etc...

Fred.