Forum de mathématiques - Bibm@th.net

clement

Invité

algebre ,

Bonjour,
j'ai un exercice a chercher chez moi, il est théorique et je ne sais pas comment faire pour commencer a la résoudre ;
voici l'enonce .:

Soit f un endomorphisme nilpotent(il existe un i tel que {f}^{i}=0 )de C
1) determiner les valeurs propres de f et en déduire son polynôme caractéristiques

merci de votre aider
cordialement

Fred

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Re : algebre ,

Bonjour,

  Si [tex]\lambda[/tex] est une valeur propre et [tex]x[/tex] un vecteur propre associé, tu as [tex]f(x)=\lambda x[/tex].
Calcule alors de deux façons différentes [tex]f^i(x)[/tex].

Fred.

clement

Invité

Re : algebre ,

Comment voulez vous que je calcule de deux facons differents fî(x)

MOHAMED_AIT_LH

Invité

Re : algebre ,

Salut

Fred   te  suggère  de  partir de [tex]f(x)=\lambda x[/tex]  et  du  fait que  [tex]f^{i}(x)=0[/tex]   pour  cueillir  des  informations  sur  [tex]{\lambda}[/tex]

deux  façons :
1ere  : comme  [tex]f^i=0[/tex]  alors  tu sais  que  [tex]f^i(x)=0[/tex]
2emm  comme  [tex]f(x)=\lambda x[/tex]  tu  en  déduit  quoi  pour  [tex]f^i(x)[/tex]  ?

Edit : par erreur j'avais mis le $  au lieu des balises tex, j'ai récupéré.

Dernière modification par MOHAMED_AIT_LH (15-05-2012 21:11:26)

clement

Invité

Re : algebre ,

j'en déduis que f^i(x)=λx

Fred

Administrateur

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Re : algebre ,

Ben non, par exemple
[tex]f^2(x)=f(f(x))=f(\lambda x)=\lambda f(x)=\lambda\times \lambda x[/tex].

Bon, et une fois que tu sais que [tex]f^i(x)=0[/tex] et que tu as calculé d'une autre façon [tex]f^i(x)[/tex], qu'est-ce que tu peux en déduire
pour [tex]\lambda[/tex]?

Fred.

thadrien

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Re : algebre ,

j'en déduis que f^i(x)=λx

Presque ! C'est [tex]f^i (x)=λ^i x[/tex].

Niryub

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Re : algebre ,

On pourrait aussi suggérer une approche avec le polynôme annulateur, [tex]P\left(X\right)={X}^{i}[/tex]  annule l'endomorphisme f. On remarque aussi simplement que  [tex]Q\left(X\right)={X}^{i-1}[/tex] n'annule pas f.
P est donc le polynôme minimal de f . Par ailleurs le polynôme caractéristique est d'après Cayley Hamilton annulateur de f donc il est multiple du polynôme minimal  et par conséquent...

Dernière modification par Niryub (16-05-2012 18:22:47)