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#1 28-03-2012 14:44:57
- kiroro
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Cube de Hilbert
Bonjour, je veux prouver que le cube de Hilbert est compacte;
j'ai trouvé se pdf mais je n'ai pas compris qui est I est qui est C
s'il vous plait
mercicube de Hilbert
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#4 30-03-2012 10:48:37
- pedestre
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Re : Cube de Hilbert
Je complète.
Bon. On n'est pas obligé d'avoir [tex]I^{\infty}\in l_2[/tex], mais puisque dans la démonstration citée [tex]I^{\infty}[/tex] est déclaré compact, c'est avec quelle topologie ? Sûrement pas avec la distance [tex]d(x,y)=\sup\limits_{k\in\mathbb N}|x_k-y_k|[/tex] (prendre la suite [tex](x_n)[/tex] définie par [tex]x_n,k=\delta_n^k[/tex]. Une suite extraite ne peut être de Cauchy puisque la distance de 2 termes distincts est toujours 1).
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#5 30-03-2012 17:06:14
- Fred
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Re : Cube de Hilbert
Bonjour Pedestre,
Je pense que tu as mal lu le pdf. Dans ce pdf, le cube de Hilbert est
[tex]C=\{x\in\ell^2; \forall n\geq 1, 0\leq x_n\leq 1/n\}[/tex]
Il est démontré que C est homéomorphe à [tex]I^{\infty}[/tex] par l'application f donnée dans le texte.
[tex]I^\infty[/tex] est muni de la topologie produit. Une base d'ouverts, pour cette topologie, est donnée
par les ouverts de la forme [tex]U_1\times\dots\times U_n\times I\times I\times\dots[/tex] où n est un entier quelconque
et les [tex]U_i[/tex] sont des ouverts de I.
Fred.
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#7 01-04-2012 13:16:04
- pedestre
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Re : Cube de Hilbert
Bonjour Fred,
Merci, mais j'avais très bien lu le pdf. Dans mes messages je ne parlais pas du cube de Hilbert mais de [tex]I^{\infty}[/tex]. J'avoue ne pas bien comprendre pourquoi [tex]I^{\infty}[/tex] est compact (c'est peut-être trivial ??).
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#8 01-04-2012 14:02:40
- pedestre
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- Messages : 16
Re : Cube de Hilbert
Fred,
A la réflexion, je pense comprendre pourquoi [tex]I^{\infty}[/tex] est compact. En effet si on considère un recouvrement ouvert de [tex]I^{\infty}[/tex] , ce recouvrement contient au moins un [tex]U_1\times U_2\; ...\;U_n\times I\;...\;I\;...\;\; [/tex]. Si [tex]n=1[/tex] c'est terminé. Sinon il ne reste en plus qu'à recouvrir [tex]I^n[/tex] par les projections des ouverts du recouvrement sur [tex]I^n[/tex] (n premières composantes), ce qui peut se faire avec un sous-ensemble fini, vu la finitude de n.
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#10 01-04-2012 20:05:36
- kiroro
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- Messages : 51
Re : Cube de Hilbert
coucou je suis la!
I =[0,1] c'est un compacte ;et selon Tichonoff produit infini de compacte est compacte donc I^infini est compacte! (je pense)
savez-vous ou je peux trouver une démonstration plus facile pour le cube de Hilbert s'il vous plait!
merci
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#11 04-04-2012 22:41:07
- mathieu64
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- Messages : 192
Re : Cube de Hilbert
Salut,
Pour le cube de Hilbert tu n'as pas besoin de tychonoff car c'est un produit denombrable de compacte.
Tu prends une suite du cube.
Etape1: tu extraits une sous suite telle que la projection sur la premiere coordonnées du cube converge (tu peux car [0,1] est compacte.
Etape 2 une sous sous suite telle que les 2 premières coordonnées convergent
de meme etape n...
Au final tu n'as plus cas utiliser un procede diagonale de Cantor.
En gros la sous suite final vaut U1=1ere valeur de la sous suite U2=2eme valeur de la sous sous suite .... U3=3eme valeur de la sous sous sous suite....
C'est la suite cherchée.
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