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#1 22-03-2012 23:49:11
- abdoullah
- Membre
- Inscription : 16-01-2012
- Messages : 25
degré d'un polynome
Bonsoir SVP j'ai une question :
notons E=|R[X] et En=|Rn[X] ,
Soit l'application F:E ->E
P ->P(X+1)-P(X)
on a : [tex]\forall n>=1 :[/tex] F(En)=En-1
et on admet que [tex]\exists ![/tex] Bk [tex]\in[/tex] E : Bk(0)=0 et Bk(X+1)-Bk(X)=Xk
**La question est de determiner le degré de Bk.
Veuillez svp me donner des idées pour trouver le degré.
Merci pour vos réponses.
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#4 23-03-2012 14:04:08
- Roro
- Membre expert
- Inscription : 07-10-2007
- Messages : 1 801
Re : degré d'un polynome
Re,
Ne vois-tu pas un lien entre [tex]B_k'[/tex] et [tex]B_{k-1}[/tex] ?
Il suffit simplement de dériver la relation que tu donnes :
[tex]B_k'(X+1)-B_k'(X) = kX^{k-1}[/tex]
donc [tex]B_k'/k[/tex] vérifie la même relation que [tex]B_{k-1}[/tex]. Si comme tu le prétends, il y a unicité alors [tex]B_k'=kB_{k-1}[/tex].
Me tromperais-je quelque part ?
Roro.
Dernière modification par Roro (23-03-2012 14:17:44)
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#5 23-03-2012 15:22:08
- Roro
- Membre expert
- Inscription : 07-10-2007
- Messages : 1 801
Re : degré d'un polynome
Je savais bien que je me trompais... mais pas trop !
En fait, [tex]B_k'/k[/tex] vérfie bien la même relation que [tex]B_{k-1}[/tex] mais il ne vérifie pas la condition d'être nul en zéro. Il faut donc lui retancher une constante (qui vaut [tex]B_k'(0)/k[/tex] mais on s'en contre-fiche). Autrement dit [tex]B_k'=kB_{k-1}+B_k'(0)[/tex]. Avec ça on doit pouvoir en déduire (par récurrence) le degré de ces polynômes...
Roro.
Dernière modification par Roro (23-03-2012 15:22:33)
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#7 23-03-2012 22:54:16
- Roro
- Membre expert
- Inscription : 07-10-2007
- Messages : 1 801
Re : degré d'un polynome
Bonsoir,
Il y a sans doute plus simple que ce que je te racontais pour trouver juste le degré du polynôme.
En effet, il doit être assez simple de montrer que deg(F(P))=deg(P)-1. Pour t'en convaincre, tu peux écrire P dans la base canonique et regarder ce que vaut F(P)... tout au moins calculer facilement son degré.
Roro.
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