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- Contributions : Récentes | Sans réponse
#1 18-03-2012 09:56:12
- kiroro
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espace localement connexe (connexe par arc)
bonjour,
je cherche a démontrer que: "les composantes d'un espace localement connexe par arc sont connexe par arc"
s'il vous plait
merci
Dernière modification par kiroro (18-03-2012 20:22:43)
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#2 18-03-2012 21:31:42
- Fred
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Re : espace localement connexe (connexe par arc)
Salut,
Voici une stratégie :
1. Dans un espace localement connexe par arcs, les composantes connexes par arcs sont ouvertes.
En effet, pour tout point x d'une telle composante U, il existe un ouvert contenant x et connexe par arcs, donc inclus dans U,
2. Tout espace connexe et localement connexe par arcs est (globalement) connexe par arcs.
En effet, si U est une composante connexe par arcs d'un tel espace X (non vide) alors, d'après la propriété précédente, U est ouvert, et son complémentaire (réunion des autres composantes connexes par arcs) aussi, si bien que U est un ouvert-fermé non vide du connexe X donc est égal à X.
Le point 2. te donne l'information dont tu as besoin.
Fred.
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#4 21-03-2012 08:25:45
- kiroro
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Re : espace localement connexe (connexe par arc)
bonjour,
s'il vous plait j'arrive pas a prouver ce contre exemple:
"Supposons X dénombrable, alors toute application continue f : [0; 1]---->X est constante. Sinon, on pourrait écrire:
[0; 1] =[tex]\cup_(x\in X) f^-1({x})[/tex],
c'est-à-dire écrire l'intervalle [0; 1] comme une union d'un nombre fini ou dénombrable de fermés non-vides deux à deux disjoints.
C'est impossible!
il est dit que c'est une application du théoréme de Baire mais je n'ai pas su l'utiliser
s'il vous plait
merci
Dernière modification par kiroro (21-03-2012 08:28:34)
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#5 21-03-2012 13:53:42
- Fred
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Re : espace localement connexe (connexe par arc)
Salut,
Je ne m'y prendrais pas du tout comme cela. L'image d'un intervalle par une fonction continue est un intervalle.
Un intervalle est dénombrable si et seulement si il est constitué d'un unique point.
Fred.
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#6 21-03-2012 14:20:52
- kiroro
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Re : espace localement connexe (connexe par arc)
c'est vrai!
mais je l'ai trouver dans un fichier pdf etil est dit que c'est un contre exemple pour prouver que localement connexe n'implique pas localement connexe par arcs
s'il vous plait
merci
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#7 21-03-2012 21:46:57
- Fred
- Administrateur
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- Messages : 7 349
Re : espace localement connexe (connexe par arc)
Salut,
C'est loin d'être facile... Voici un exercice pêché sur le net qui décompose le problème en plusieurs questions : http://www.umpa.ens-lyon.fr/~ppy/TD-8.pdf (c'est l'exercice 5).
Fred.
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#11 22-03-2012 21:16:33
- Fred
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Re : espace localement connexe (connexe par arc)
Salut,
X muni de la topologie cofinie est connexe (on ne peut pas écrire X comme réunion de deux ouverts disjoints, car les deux ouverts devraient être finis à cause de la topologie que tu as fixé sur X). De même, X est localement connexe.
Il n'est pas localement connexe par arcs, sinon il serait connexe par arcs (il est connexe), et on ne peut pas relier deux points de X par une application continue [0,1]->X qui est nécessairement constante.
Fred.
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