Forum de mathématiques - Bibm@th.net

abdoullah

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suites

Bonjour SVP j'ai un petit exercice:
"Soit (u_n) et (v_n) deux suites reeles convergentes t.q :
Lim(u_n)=l et Lim(v_n)=l' avec l<l'.
Il est demandé de M.q : [tex](\exists N \in |N)(\forall n>=N)[/tex]: l<l'.
"
J'ai essayé de proceder comme suit :(Veuillez me dire SVP si c'est juste ou pas)
On a : l<l' => [tex](\exists[/tex] N₁[tex] \in |N[/tex])([tex]\forall [/tex]n>=N₁): u_n<l'
Et :     l<l' => [tex](\exists[/tex] N₂ [tex]\in[/tex] |N)([tex]\forall[/tex] n>=N₂): l<v_n
soit N=max(N₁,N₂)
donc ([tex]\forall[/tex] n>=N): l-l'<v_n-u_n (j'ai combiné les 2 inégalités precedentes)
en ayant: l-l'<v_n-u_n
alors : [tex](\exists N'>N)(\forall n>=N')[/tex]: u_n-v_n<v_n-u_n
D'où : [tex](\forall n>=N'):[/tex] u_n<v_n
Veuillez SVP me dire s'il y a une fote dans ma démonstration.
Et merci pour vos réponses.

Fred

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Re : suites

Bonjour,

  Je ne comprends pas la fin de ta démonstration, et en fait elle ne semble pas fonctionner.
Tu utilises simplement tes informations pour avoir
[tex]v_n-u_n>l-l'[/tex]
Mais ceci ne peut pas te permettre de conclure que [tex]v_n-u_n>0[/tex], puisque l-l'<0.
Dès le départ, ce n'est pas bien parti. Tu dois déduire des limites une information plus forte
que [tex]u_n<l'[/tex].
Je te conseille de faire un dessin.

Fred.

abdoullah

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Re : suites

Bonsoir ,
Euh quand je suis arrivé à l'étape : l-l'<v_n-u_n
c'est comme si j'ai considéré une suite : w_n=u_n-v_n
On a bien Lim w_n=l-l'
et puisqu'on a : l-l'<v_n-u_n
alors il existe un rang à partir duquel : w_n<v_n-u_n
(j'ai appliqué la propriété appliquée sur l et l' sur : Lim w_n=l-l')
d'où : pour tout n>à un certain rang : v_n-u_n<-v_n+u_n
                                                         =>u_n<v_n
Alors qu'en dites vous SVP?
Merci pr vos réponses.

Fred

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Re : suites

On a bien Lim w_n=l-l'
et puisqu'on a : l-l'<v_n-u_n
alors il existe un rang à partir duquel : w_n<v_n-u_n

Je ne suis pas d'accord avec cette dernière implication.
Prends [tex]u_n=0, v_n=1/n, w_n=2/n, l=l'=0.[/tex]

Fred.

abdoullah

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Re : suites

prends u_n=0 , v_n=1/n,w_n=2/n,l=l'=0

Bonsoir,
Euh la suite (w_n) que ta pris ne verifie pas mon hypothèse j'ai pris w_n=u_n-v_n
Et de plus d'après l'enoncé on devrait prendre deux suites t.q :Lim u_n=l<Lim v_n=l'
Qu'en dis tu?

Fred

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Re : suites

Je suis d'accord que les 3 suites ne vérifient pas les hypothèses de départ (et c'est bien normal, puisque ce que tu veux démontrer est vrai!).
Mais elles contredisent juste l'implication que j'ai cité dans mon message (je veux dire que cette partie là de ta démonstration est fausse, puisqu'il faut d'autres hypothèses sur w_n, u_n et v_n que celles que tu utilises dans ce passage pour arriver à la conclusion).

Fred.

abdoullah

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Re : suites

Bonjour ,
Alors que devrais je faire pour remedier à la fote dans cette implication SVP?
Merci pr vos réponses.

Fred

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Re : suites

Salut,

  Il faut que tu considères un réel a strictement compris  entre l et l',
et que tu dises qu'à partir d'un certain rang, [tex]u_n<a[/tex] et [tex]v_n>a[/tex].

Fred.

abdoullah

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Re : suites

Ah je vois , Merci Fed