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#1 01-02-2012 15:34:43
- marmat
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- Messages : 23
equation differentielle a 2 variable (ordre 4).
Salut.
J'ai un projet a presenter en 2 semaines.
Je me retrouve face a une equation differentielle de la forme.
[tex]EI\frac{d^4y(x,t)}{dx^4}+m\frac{d^2y(x,t)}{dt^2}+ky(x,t)=0[/tex].
Je n'ai aucune idee comment resoudre cette equation :s.
J'ai pense de separer les variables mais j'hesite car je n'ai pas encore apris cette frome de differentielle.
Merci pour votre aide.
Dernière modification par marmat (01-02-2012 15:39:23)
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#2 01-02-2012 18:56:57
Re : equation differentielle a 2 variable (ordre 4).
Salut,
On cherche des solutions particulières sous la forme : [tex]y(x,t) = g(x) ^~ h(t)[/tex].
Dans le cas suivant, après les simplifications d'usage, on obtient :
[tex]E ~ I ~ h(t) ~ \frac{\mathrm{d}^4 g(x)}{\mathrm{d} x^4} + m ~ g(x) ~ \frac{\mathrm{d}^2 h(t)}{\mathrm{d} t^2} + k ~ g(x) ~ h(t) = 0[/tex]
On divise l'équation obtenue par [tex]g(x) h(t)[/tex] :
[tex]E ~ I ~ \frac{1}{g(x)} ~ \frac{\mathrm{d}^4 g(x)}{\mathrm{d} x^4} + m ~ \frac{1}{h(t)} ~ \frac{\mathrm{d}^2 h(t)}{\mathrm{d} t^2} + k = 0[/tex]
On peut montrer assez facilement que cette condition n'est remplie pour tout x et tout t que si [tex]E ~ I ~ \frac{1}{g(x)} ~ \frac{\mathrm{d}^4 g(x)}{\mathrm{d} x^4}[/tex] et [tex]m ~ \frac{1}{h(t)} ~ \frac{\mathrm{d}^2 h(t)}{\mathrm{d} t^2}[/tex] sont constants.
On pose alors : [tex]E ~ I ~ \frac{1}{g(x)} ~ \frac{\mathrm{d}^4 g(x)}{\mathrm{d} x^4} = k_x[/tex] et [tex]m ~ \frac{1}{h(t)} ~ \frac{\mathrm{d}^2 h(t)}{\mathrm{d} t^2} = k_y[/tex].
On a alors : [tex]k_x + k_y = k[/tex].
La seconde équation se résout facilement :
[tex]h(t) = A_t ~ \exp{\left( -\sqrt{\frac{k_y}{m}} ~ t \right)} + B_t ~ \exp{\left( \sqrt{\frac{k_y}{m}} ~ t \right)}[/tex] avec [tex]A_t[/tex] et [tex]B_t[/tex] des constantes complexes.
La seconde ne peut se résoudre facilement qu'en utilisant les conditions aux limites :
[tex]g(0) = g(l) = 0[/tex]
[tex]\frac{\mathrm{d}^2 g(0)}{\mathrm{d} x^2} = \frac{\mathrm{d}^2 g(l)}{\mathrm{d} x^2} = 0[/tex]
On cherche alors une solution de la forme :
[tex]g(x) = \sum_{n = 0}^{+\infty} A_n \sin{\left( \frac{2 \pi n x}{l} \right)}[/tex]
Cette forme respecte les conditions aux limites.
Après un peu de calcul, on obtient [tex]A_n = 0[/tex] OU [tex]k_x = E ~ I ~ \left( \frac{2 \pi n}{l} \right) ^4[/tex].
g n'admet donc une solution de cette forme que si [tex]k_x = E ~ I ~ \left( \frac{2 \pi n_x}{l} \right) ^4[/tex] et cette solution est : [tex]g(x) = A_x \sin{\left( \frac{2 \pi n_x x}{l} \right)}[/tex] avec [tex]n_x[/tex] un entier naturel supérieur à 0.
Plus qu'à recoller les bouts...
Bonne chance pour la suite !
Hadrien
Dernière modification par thadrien (04-02-2012 17:53:25)
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#3 01-02-2012 19:34:30
- marmat
- Membre
- Inscription : 15-10-2011
- Messages : 23
Re : equation differentielle a 2 variable (ordre 4).
merci beaucoup.
C'etait ce que j'avais en tete... mais je n'etais pas sur car je n'ai jamais confronte une telle forme.
Pour le K, peut on la resoudre sans le K et puis y trouver une solution particuliere? (just une pensee mais je ne sais pas l'appliquer :s)
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#4 01-02-2012 21:52:24
- Roro
- Membre expert
- Inscription : 07-10-2007
- Messages : 1 801
Re : equation differentielle a 2 variable (ordre 4).
Bonsoir,
Deux autres petites remarques concernant cette équation :
- Selon les conditions que tu imposeras au bord du domaine, tu peux éventuellement rechercher une solution sous forme de série de Fourier, ou bien utiliser la transformée de Fourier si [tex]x\in \mathbb R[/tex].
- La méthode de séparation des variables peut te fournir des solutions mais ce serait bien de s'assurer qu'il n'y a pas d'autres solutions ! Tu peux utiliser ce qu'on appelle des estimations d'énergie pour démontrer que si tu imposes des conditions initiales (une condition sur la valeur de [tex]g[/tex] au temps initial et une condition sur la valeur de [tex]\partial_t g[/tex] au temps initial) alors il y a qu'une seule solution. Une telle "estimation" peut s'obtenir en multipliant ton équation par [tex]\partial_t g[/tex]...
Roro.
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#5 02-02-2012 16:18:16
- marmat
- Membre
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- Messages : 23
Re : equation differentielle a 2 variable (ordre 4).
ok
merci pour ce plus d'infos... je n'ai pas encore appris les series de fourriers, c'est le 2eme semestre que je vais les apprendre.
Mais je peux vous dire que :
x varie entre deux constantes -l et l.
y(0,t)=y(l,t)=0
y''(0,t)=y''(l,t)=0
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#6 04-02-2012 01:09:43
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#8 04-02-2012 17:18:12
Re : equation differentielle a 2 variable (ordre 4).
y'' c'est selon x.
Ce que je veux dire, c'est que dans le cas de fonctions à plusieurs variables, on ne note jamais [tex]y''[/tex] ou encore [tex]\ddot y[/tex]. On doit noter : [tex]\frac{\partial^2 y}{\partial x}[/tex].
Je réactualise mon post avec les nouvelles données...
Dernière modification par thadrien (04-02-2012 17:54:10)
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#10 06-02-2012 16:15:08
Re : equation differentielle a 2 variable (ordre 4).
Par contre, tu remarqueras que l'on trouve plusieurs solutions à cette équation.
La solution finale de l'équation est une somme pondérée de toutes les solutions partielles trouvées précédemment.
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