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abdoullah

Invité

famille de sphères

Bonjour SVP je veux vous questionner sur un exercice :
"Soit l'ensemble Sm d'équation : x²+y²+z²-[tex]2mz\sqrt{2}[/tex]+m²-2=0
(avec m[tex]\in[/tex] |R)
Il est clare que Sm est une famille de sphères , chaque sphère est de centre O_m(0,0,m[tex]\sqrt{2}[/tex])
et un rayon : R_m=[tex]\sqrt{m²+2}[/tex]
*Quel est l'ensemble des points de l'espace qui appartiennent à toutes les sphères Sm (m[tex]\in[/tex] |R)"
j'ai essayé de prendre 2 valeurs qquonques de m et determiner l'intersection et après verfier cette intersection pour tout Sm
mais quand j'essaye de resoudre le systeme ca me donne juste une valeur de z.
(Je pense que l'intersection de Sm est l'ensemble vide mais je sais pas si c'est vrai ou pas)
Veuillez SVP me dire comment trouver cet ensemble d'intersection de Sm.
Et merci pour vos réponses.

totomm

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Re : famille de sphères

Bonjour,

Pour 2 valeurs opposées de m l'intersection est dans le plan z=0 sur le cercle x²+y²=2-m²
quand m varie, ces cercles n'ont aucun points communs (sauf les points cycliques -imaginaires- du plan z=0)

Cordialement

jpp

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Re : famille de sphères

salut abdoullah.

lorsque [tex]m  -> \infty[/tex] alors son rayon [tex]r \approx{m}[/tex] et son centre [tex]C (0 , 0 , m\sqrt2 )[/tex]

pour conclure , la surface  sphèrique  est a une distance avoisinant [tex]m.(\sqrt2 - 1)[/tex] du point O(0,0,0)

donc l'ensemble est vide.  ça reste à confirmer.

                                                                                    à plus.

Dernière modification par jpp (30-12-2011 10:48:09)

Golgup

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Re : famille de sphères

ou bien deux spheres [tex]{S}_{1}[/tex]  et  [tex]{S}_{2}[/tex]   de rayons [tex]{r}_{i}\,\,[/tex]  et centre  [tex]{c}_{i}\,\,[/tex]

on au moins un point en commun ssi [tex]{c}_{1}+{r}_{2}\geq\,{c}_{2}-{r}_{1}[/tex]

donc  si   [tex]\frac{\sqrt{{{m}_{1}}^{2}+2}+\sqrt{{{m}_{2}}^{2}+2}}{{m}_{1}-{m}_{2}}\geq\,-\sqrt{2}[/tex]

ce n'est pas toujours le cas...

Dernière modification par Golgup (30-12-2011 11:49:23)

thadrien

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Re : famille de sphères

Salut,

En prenant respectivement comme valeurs particulières de m [tex]0[/tex], [tex]\sqrt{2}[/tex] et [tex]- \sqrt{2}[/tex], on obtient les équations :

[tex]x^2 + y^2 + z^2 = 2[/tex]
[tex]x^2 + y^2 + z^2 - 4z = 0[/tex]
[tex]x^2 + y^2 + z^2 + 4z = 0[/tex]

Ce système d'équations est équivalent à :

[tex]x^2 + y^2 + z^2 = 2[/tex]
[tex]2 - 4z = 0[/tex]
[tex]2 + 4z = 0[/tex]

Ce système d'équations n'admet aucune solution. L'ensemble recherché est donc l'ensemble vide.