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naoufal

Invité

isométrie vectorielle

Bonjour s.v.p
je suis en classe MPSI et je voudrais vous questionner sur une ptite chose dans un exercice
" On a f est est un endomorphisme de Rⁿ et B=(e₁,...,e_n) une base orthonormée de Rⁿ
On me demande de montrer l'équivalence suivante :
"f est une isométrie vectorielle de Rⁿ <=> f(B)=(f(e₁),...,f(e_n)) "
Svp pouvez vous me dire la définition de f(B) ? et comment procéder avec la question .
Merci pour vos réponses.

Fred

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Re : isométrie vectorielle

Bonjour,

  Je pense qu'il manque la moitié de la question.
Tu dois prouver que f est une isométrie vectorielle si et seulement si (f(e₁),...,f(e_n)) est une base orthonormée.

Le sens direct est facile (car une isométrie vectorielle préserve le produit scalaire).

Pour le sens réciproque, tu prends n'importe quel x de Rⁿ, tu le décomposes dans la base orthonormée (e₁,...,e_n). Tu sais calculer la norme de x en fonction des coefficients dans cette décomposition.
Tu appliques ensuite f, et tu peux calculer f(x) en utilisant l'hypothèse (à savoir (f(e₁),...,f(e_n)) est une base orthonormée).

Fred.