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#1 17-05-2011 16:01:01
- Cracky
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Limite somme
Bonjour a tous, pouvez vous m'aider dans la résolution de cette limite ? Je ne sais pas du tout comment m'y prendre ! ce genre de calcul ne me dit rien !
[tex]\lim_{n \to \infty}[/tex] [tex]\sum^{n}_{k=1}\frac{\sin \left(\frac{4k}{n}\right)}{n}[/tex]
Dernière modification par Cracky (17-05-2011 16:01:32)
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#2 17-05-2011 17:21:07
Re : Limite somme
Salut,
Remplaces dans ta somme [tex]sin(x)[/tex] par [tex]Im[e^{i x}][/tex]. Permutes la somme et la partie imaginaire. Tu tomberas ensuite sur une suite géométrique dont le calcul de la somme est aisé.
Dernière modification par thadrien (18-05-2011 09:14:06)
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#3 17-05-2011 18:19:37
- Cracky
- Membre
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- Messages : 14
Re : Limite somme
Il n'y a pas une autre methode sans complexe ? on a pas spécialement parlé des complexe du semestre, les seuls outil que j'ai c'est les formules de taylor ou leibniz ...
Si passé par les complexes est la la seule methode tout ça un un peu vieux pour moi ( pas fait de complexe depuis 2 ans ) peu tu detaillé la methode avec les complexes ou en proposé une autre sans ?
Merci d'avance
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#4 17-05-2011 19:31:16
Re : Limite somme
Salut,
Va voir ici : http://fr.wikipedia.org/wiki/Formules_d'Euler
Je manque sérieusement de temps en ce moment, je ne peux donc malheureusement pas te faire un calcul détaillé.
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#5 17-05-2011 22:06:37
- MOHAMED_AIT_LH
- Invité
Re : Limite somme
Bonsoir,
Mot clef : Sommes de Riemann
la limite vaut : [tex]\lim_{n \to +\infty} \frac{1-0}{n} \sum_{k=1}^n f(0+k \frac {1-0}{n} )[/tex]
avec [tex]f(x)= ....[/tex]
Jette un coup 'oeil sur ton cours 'Integration sur un segment
thardien : Oui, ça se comprends que tu avais répondu quoiqe surchargé de travail ( edite s'il te plaît : partie imaginaire au lieu de partie réelle). merci pour ton aide pour autrui (j'ai vu ton site : des bonnes choses !)
Pour les détailles de la méthode proposée par thardine, voici quelques indices :
il suffit de voir que [tex]\sin \frac{4k}{n} = \Im e^{1 \frac{4k}{n}}[/tex]
Rappelons que si [tex]z[/tex] est un nombre complexe différent de [tex]1[/tex] alors : [tex]\sum_{k=0}^n z^k = \frac{1-z^{n+1}}{1-z}[/tex]
Rappelons que si [tex]t[/tex] est un nombre réel alors [tex]1-e^{it} =-2i \sin \frac{t}{2} e^{i \frac t2}[/tex]
Une technique remarquable est d'écrire drectement pour [tex]a,b \in {\mathbb R}[/tex] , lorsque les formules sont bien définies :
[tex]\frac{1-e^{ia}}{1-e^{ib}} = \frac{\sin \frac a2}{\sin \frac b2} e^{i\frac{a-b}{2}}[/tex]
Dernière modification par MOHAMED_AIT_LH (18-05-2011 01:27:30)
#6 18-05-2011 09:15:18
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