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chninkel33

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polynome annulateur/polynome caractéristique

Bonjour,
(On n'est pas chez les sauvages, si ?)
Yoshi - Modérateur
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Je me demandais la chose suivante :
u étant un endomorphisme sur E un espace vectoriel  de dimension finie n sur R ou C) :
"Est ce que tout polynôme annulateur de u de degré n est nécessairement le polynôme caractéristique de u ?"

Merci (et soyez indulgents svp si la réponse est évidente..)

thadrien

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Re : polynome annulateur/polynome caractéristique

Salut,

La réponse est NON. Mais ce n'est pas si évident. Pour t'en convaincre, quelques points :

1/ Par définition, il y a un et un seul polynôme caractéristique, mais plusieurs polynômes annulateurs différents. Comment donc "tout polynôme annulateur de u de degré n [pourrait être] le polynôme caractéristique de u" ?

2/ Soit P un polynôme annulateur de u. Soit Q un polynôme quelconque. PQ est aussi un polynôme annulateur de u. Donc, il y a plusieurs polynômes annulateurs de u différents.

Maintenant, récapitulons ce qui est vrai :

1/ Le polynôme caractéristique de u est aussi un (et non pas le) polynôme annulateur. C'est le théorème de Cayley-Hamilton.

2/ Le polynôme caractéristique est unique, par définition.

3/ Il existe un polynôme annulateur de u de degré minimal, appelé polynôme minimal.

4/ Le polynôme minimal de u divise tout polynôme annulateur de u. En particulier, il divise le polynôme caractéristique.

chninkel33

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Re : polynome annulateur/polynome caractéristique

merci beaucoup pour ta réponse!
maintenant, si ca devient : tout polynôme annulateur de degré n est-il de la forme k.Xu (avec k constante et Xu polynôme caractéristique de u)? vrai ou pas?
est ce que tu aurais un contre-exemple? car j'ai vraiment l'intuition que c'est vrai (meme si je n'arrive pas à le prouver)

Groupoid Kid

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Re : polynome annulateur/polynome caractéristique

Bonsoir à toi.

Si tu passes un peu plus de 5 minutes à relire attentivement la réponse de thadrien, tu te rendras compte que ce que tu avances est manifestement faux. La condition pour annuler u, c'est d'être un multiple du polynôme *minimal*, et non caractéristique.

Pour te mettre les points sur les i, voici un contre-exemple évident avec l'identité. Je te laisse vérifier que P=(X-1)(X-2)....(X-n) est un polynome annulateur de degré n de l'identité, et pourtant il n'a rien à voir avec son polynôme caractéristique. En fait tout multiple de X-1 annulera l'identité, et en degré n tu trouveras pléthore de tels multiples.

Désolé de ne pas me montrer indulgent, mais l'intervention de Yoshi et ta réponse irréfléchie m'ont hérissé le poil >:@

chninkel33

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Re : polynome annulateur/polynome caractéristique

merci bien!
c'est vrai, je n'ai pris le temps de réfléchir assez!
pas de problème avec 'ton manque d'indulgence'..