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iamismael

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Equations différentielles avec second membre

Bonsoir

Nous avons l'équation différentielles suivante :
[tex](E)  y'''-2y''+y'-2y=4sint-2cost[/tex]

les solutions réelles de l'équation homogène sont de la forme :
[tex]y(t)=\lambda e^{2t} + \mu cost +\nu sint[/tex]

d'habitude j'appliquerais la méthode d'identification en supposant que les solutions sont de la forme [tex]e^{t}P(X)[/tex]
mais je n'arrive pas à aboutir .

Nous devons trouver [tex]tcost[/tex] semble-t-il , et ainsi obtenir la solution générale [tex]y(t)=\lambda e^{2t} + (\mu +t) cost +\nu sint[/tex]

pourriez vous m'aider à comprendre le cheminement à effectuer ?
merci

Dernière modification par iamismael (13-04-2011 17:43:30)

Fred

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Re : Equations différentielles avec second membre

Bonjour,

  C'est le bon cheminement, sauf que tu vas chercher plutôt une solution ici à
[tex]y'''-2y''+y'-2y=4e^{it}[/tex]
puis à
[tex]y'''-2y''+y'-2y=-2e^{it}[/tex]

On cherche une solution sous la forme [tex]e^{it}P(t)[/tex]
(tu as oublié le i ce que tu proposais), puis tu prends la partie imaginaire de la première solution,
la partie réelle de la seconde, et tu fais la somme.

Fred.

iamismael

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Re : Equations différentielles avec second membre

merci de votre réponse

cependant je ne comprend pas pourquoi nous n'avons pas [tex]y'''-2y"+y'-2y=-2e^{-it}[/tex]
afin d'obtenir une somme d'exponentielles et it et -it
au même titre que nous avons [tex]t    -> cost[/tex] pour la valeur propre [tex]-i[/tex] ?

et est-ce normal que je trouve [tex]tcost[/tex] à une constante près ?

merci

Groupoid Kid

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Re : Equations différentielles avec second membre

Bonsoir,

Ton équation est linéaire à coefficients réels : si tu conjugues le second membre, tu sais déjà que les solutions seront les solutions conjuguées. Ensuite en prenant les demi-somme et demi-différence, tu obtiendras les solutions pour les parties réelles et imaginaires. C'est en détail ce qui fait que la méthode proposée par Fred est légitime ;-)

said ouiazzane

Invité

Re : Equations différentielles avec second membre

slt,effectivement ton problème est souvant rencontré,fred vous a proposé la meilleur réponse.Reessayez et n'oubliez pas que tu dois enfin combiner les deux solutions trouvés pour chacune des deux parties.

said

iamismael

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Re : Equations différentielles avec second membre

bonsoir
plutôt que d'utiliser la superposition, j'ai directement posé [tex]y(t)=at cost + bt sint[/tex]
ça a bien marché également .