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#1 19-02-2011 18:08:11
Extremums Liés
Bonjour Messieurs et dames,
Je suis encore de retour après quelque mois d'absence du à un problème de connexion!!!!
J'ai un exercice qui me fatigue, au fait un exercice d'extremum :
Déterminer les extremums liés de le fonction :
f(x,y) = exp(axy), a diffèrent de zéro
sous la contrainte : x^3+y^3+x+y-4=0.
Désole pour le texte, j'ai un petit problème de java avec le latex.
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#2 19-02-2011 22:17:08
- Fred
- Administrateur
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- Messages : 7 348
Re : Extremums Liés
Bonjour monsieur Tsaloum,
On commence par appliquer la formule des multiplicateurs de Lagrange . On calcule
les dérivées partielles :
[tex]\frac{\partial f}{\partial x}=ay\exp(ay)[/tex] et [tex]\frac{\partial f}{\partial y}=ax\exp(ay)[/tex]
Notant [tex]g(x,y)=x^3+y^3+x+y-4[/tex], on a également
[tex]\frac{\partial g}{\partial x}=3x^2+1[/tex] et [tex]\frac{\partial g}{\partial y}=3y^2+1[/tex]
En un point de [tex]g(x,y)=0[/tex] où f atteint un extrémum, les différentielles sont proportionnelles. On en déduit que
[tex]\frac{ay\exp(axy)}{3x^2+1}=\frac{ax\exp(axy)}{3y^2+1}[/tex]
ce qui entraîne [tex]3y^3+y=3x^3+x[/tex]
Maintenant, la fonction [tex]t\mapsto 3t^3+t[/tex] est strictement croissante, donc injective, et on en déduit
qu'en un point (x,y) où on a un extrémum lié, alors x=y.
Il vient [tex]x^3+x-2=0[/tex], dont la seule racine réelle est x=1.
Il faut maintenant étudier ce qui se passe en (1,1). Y-a-t-il un extrémum? Est-ce un minimum? Un maximum?
En fait, il suffit de remarquer que les points de [tex]x^3+y^3+x+y-4=0[/tex] pour lesquels |x| est grand, alors
|y| est grand lui aussi, mais x et y sont de signe opposés. Autrement dit,
[tex]\lim_{\|(x,y)\|\to +\infty, (x,y)\in G}f(x,y)=0[/tex]
où [tex]G=\{(x,y);\ g(x,y)=0\}[/tex]
Ainsi, par compacité, la fonction admet forcément un maximum qui est atteint en (1,1).
Fred.
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#3 21-03-2011 20:22:59
Re : Extremums Liés
Bonjour à Tous et Salut Fred.
Merci pour la réponse, j'avais vu que (1,1) était un point fixe mais je bloquais un peu sur comment le confirmer.
Je viens de le terminer . Merci.
J'ai un ensemble d'exercices qui me fatigue.Mais je vais essayer d'abord de me débrouiller un peu. Car à chaque fois je remarque qu'il y a que des petites choses qui m'ont manquées.
Je pense que c'est le manque d'exercices. dès que je me bloque j'essayerai de venir chercher quelque piste.
Merci!
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